Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/455

gitude du point de l’orbite troublée qui est à $90$ degrés du périhélie, comptée sur le plan de l’orbite non troublée, depuis le périhélie de celle-ci ; mais, à cause que ces deux orbites ne font entre elles qu’un très-petit angle $\delta \psi ,$ et que nous négligeons ici les $\delta \psi ^{2},$ il est très-facile de prouver que sera la longitude même du périhélie de l’orbite troublée, la projection d’un arc de $90$ degrés ne pouvant différer de $90$ degrés que par des quantités de l’ordre de $\delta \psi ^{2}.$ Ainsi le petit angle $\delta \varepsilon$ exprimera proprement le mouvement du périhélie en longitude, en vertu des perturbations.

Enfin on se rappellera que $i$ est l’époque de l’anomalie moyenne dans l’orbite non troublée, c’est-à-dire, la valeur de cette anomalie lorsque $t=0$ (n^o 20) ; donc $i+\delta i$ sera aussi l’époque de la même anomalie dans l’orbite troublée ; en sorte qu’ajoutant à cette époque le mouvement moyen pendant le temps $t,$ dans une orbite dont le grand axe serait $a+\delta a,$ on aura l’anomalie moyenne qui servira à déterminer le lieu de la comète dans l’orbite troublée.

Ainsi

$\theta =2t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}+i$

étant (numéro cité) l’anomalie moyenne dans l’orbite non troublée, on aura $\theta +\delta \theta$ pour l’anomalie moyenne dans l’orbite troublée, et l’on trouvera la valeur de $\delta \theta$ par la différentiation de l’équation précédente, en y faisant varier $a$ et $i$ seulement, en sorte qu’on aura

$\delta \theta =-3t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {\delta a}{a}}+\delta i.$

Comme $\delta a$ et $\delta i$ sont ici des quantités variables, si l’on différentie à l’ordinaire cette valeur de $\delta \theta ,$ on aura

$d\,\delta \theta =-3dt{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {\delta a}{a}}-3t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {d\,\delta a}{a}}+d\,\delta i\,;$

et substituant pour $d\,\delta i$ sa valeur trouvée dans le numéro précédent,