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n^os 31 et 37 ci-dessus, en y marquant d’un trait les quantités $\delta a,\delta b,\delta c,\delta f,$ $\delta g,\delta h,\delta i,\delta x,\delta y,\delta z,\mathrm {X,Y,Z} .$ Par les premières, on aura les valeurs de $\delta a',\delta b',\ldots$ en $\delta x',{\frac {d\,\delta x'}{dt}},\delta y',\ldots ,$ et par les autres les valeurs de $d\,\delta a',$ $d\,\delta b',\ldots$ en $\mathrm {X',Y',Z'} .$

Supposons maintenant qu’on substitue dans les formules du n^o 31 les valeurs précédentes de $\delta x,\delta y,\delta z\,;$ il est aisé de voir (à cause que ces quantités n’entrent dans les mêmes formules que sous une forme linéaire) que les valeurs des quantités $\delta h,\delta a,\delta f,\ldots$, deviendront

${\begin{alignedat}{2}\delta h=&\mu \mathrm {H} &+&\delta h',\\\delta a=&\mu \mathrm {A} &+&\delta a',\\\delta f=&\mu \mathrm {F} &+&\delta f',\\\delta g=&\mu \mathrm {G} &+&\delta g',\\\delta b=&\mu \mathrm {B} &+&\delta b',\\\delta c=&\mu \mathrm {C} &+&\delta c',\\\delta i=&\mu \mathrm {I} &+&\delta i',\end{alignedat}}$

en dénotant par $\mu \mathrm {H,\mu A,\mu F} ,$ les valeurs de $\delta h,\delta a,\delta f,\ldots$, provenant de la simple substitution de $\mu \left({\frac {x}{3(1+m)}}+{\frac {\xi }{1+\mu }}\right)$ à la place de $\delta x,$ de $\mu \left({\frac {y}{3(1+m)}}+{\frac {\eta }{1+\mu }}\right)$ à la place de $\delta y,$ et de $\mu \left({\frac {z}{3(1+m)}}+{\frac {\zeta }{1+\mu }}\right)$ à la place de $\delta z.$

De sorte qu’en faisant

$z=0,\quad {\frac {dz}{dt}}=0,$

et mettant à la place de $xdy-ydx$ sa valeur $dt{\sqrt {2h(1+m)}}$ (n^os 29, 31), on aura

${\begin{aligned}\mathrm {H} =&{\frac {4h}{3(1+m)}}+{\frac {2h}{1+\mu }}{\frac {\xi dy-\eta dx+xd\eta -yd\xi }{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}},\\\mathrm {A} =&{\frac {a^{2}}{3(1+m)}}\left({\frac {1}{r}}+{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{(1+m)dt^{2}}}\right)+{\frac {a^{2}}{1+\mu }}\left({\frac {x\xi +y\eta }{r^{3}}}+{\frac {dxd\xi +dyd\eta }{(1+m)dt^{2}}}\right),\end{aligned}}$