Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/459

qu’on y substitue ensuite les valeurs précédentes de $d\,\delta h',d\,\delta a',\ldots ,$ il viendra

${\begin{aligned}d\,\delta h=&\mu d\mathrm {H} -\mu {\frac {\sqrt {2h}}{1+\mu }}(x\mathrm {Y} '-y\mathrm {X} ')dt,\\d\,\delta a=&\mu d\mathrm {A} -{\frac {\mu }{1+m}}a^{2}(\mathrm {X} 'dx+\mathrm {Y} 'dy),\\d\,\delta f=&\mu d\mathrm {F} -{\frac {\mu ydt}{\sqrt {2h(1+m)}}}\left[\left(f+{\frac {x}{r}}\right)\mathrm {X} '+{\frac {y}{r}}\mathrm {Y} '\right]+{\frac {2dyd\,\delta h'}{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}},\\d\,\delta g=&\mu d\mathrm {G} +{\frac {\mu xdt}{\sqrt {2h(1+m)}}}\left[\left(f+{\frac {x}{r}}\right)\mathrm {X} '+{\frac {y}{r}}\mathrm {Y} '\right]-{\frac {2dxd\,\delta h'}{dt{\sqrt {2h(1+m)}}}},\\d\,\delta b=&\mu d\mathrm {B} +{\frac {\mu y}{\sqrt {2h(1+m)}}}\mathrm {Z} 'dt,\\d\,\delta c=&\mu d\mathrm {C} -{\frac {\mu x}{\sqrt {2h(1+m)}}}\mathrm {Z} 'dt,\\d\,\delta i=&\mu d\mathrm {I} +3t{\sqrt {\frac {2(1+m)}{a^{3}}}}{\frac {d\,\delta a'}{a}}-{\frac {2r^{2}d\,\delta g'}{f{\sqrt {a^{3}h}}}}+{\frac {y(fx-4h)d\,\delta f'}{2{\sqrt {ah^{3}}}}},\end{aligned}}$

formules qu’on pourra employer à la place de celles du n^o 37, avec lesquelles elles sont identiques dans le fond.

40. En comparant les formules précédentes avec celles du n^o 37, il est aisé d’en tirer cette conclusion générale, qu’il est permis de changer dans ces dernières les quantités $\mathrm {X,Y,Z}$ en $\mathrm {X',Y',Z'} ,$ ourvu qu’on ajoute en même temps aux valeurs de $d\,\delta h,d\,\delta a,d\,\delta f,\ldots$ les quantités $\mu d\mathrm {H} ,\mu d\mathrm {A} ,\mu d\mathrm {F} ,\ldots .$

De là il s’ensuit que, soit, par exemple, $\mu \Pi dt$ la valeur de $d\,\delta h$ dans les formules du n^o 37, on aura, en intégrant,

$\delta h=\int \mu \Pi dt,$

cette intégrale étant supposée commencer au point où $\delta h=0.$ Supposons maintenant qu’à commencer d’un point donné de l’orbite on veuille employer les quantités $\mathrm {X',Y',Z'}$ à la place des $\mathrm {X,Y,Z} ,$ et qu’on dénote