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53. À l’égard des termes de la première espèce, il est clair qu’ils seront de la forme

$\cos ^{\mu }\varphi \sin ^{\nu }\varphi d\varphi ,$

et par conséquent tous intégrables, $\mu$ et $\nu$ étant, par l’hypothèse, des nombres entiers positifs.

Quant à ceux de l’autre espèce, ils seront évidemment de la forme

$\cos ^{\mu }\varphi \sin ^{\nu }\varphi \sin \mathrm {N} \upsilon d\varphi ,\quad {\text{ou}}\quad \cos ^{\mu }\varphi \sin ^{\nu }\varphi \cos \mathrm {N} \upsilon d\varphi ,$

$\mathrm {N}$ étant un nombre entier. Ces termes ne sont intégrables par aucune méthode connue ; mais nous allons faire voir que, dans la partie supérieure de l’orbite de la comète, à laquelle est destinée la méthode que nous exposons, ces termes seront considérablement plus petits que les précédents ; en sorte qu’on pourra le plus souvent les négliger sans scrupule.

Pour cet effet, je remarque que

$d\upsilon =d\theta {\sqrt {\frac {a^{3}}{\alpha ^{3}}}},$

mais (n^o 20)

$d\theta ={\sqrt {\frac {8(1+m)}{a^{2}}}}dt,$

et (n^o 21)

$dt={\frac {r^{2}d\varphi }{\sqrt {2h(1+m)}}}\,;$

donc

$d\upsilon ={\frac {2r^{2}d\varphi }{\sqrt {\alpha ^{3}h}}},\quad \mathrm {et\ de\ l{\grave {a}}} \quad d\varphi ={\frac {d\upsilon {\sqrt {\alpha ^{3}h}}}{2r^{2}}}.$

Si l’on substitue cette valeur de $d\varphi$ dans les termes dont il s’agit, et qu’on fasse, pour abréger,

${\sqrt {\alpha ^{3}h}}{\frac {\cos ^{\mu }\varphi \sin ^{\nu }\varphi }{2\mathrm {N} r^{2}}}=\Phi ,$

ils deviendront

$-\Phi d\cos \mathrm {N} \upsilon ,\quad \Phi d\sin \mathrm {N} \upsilon ,$

dont l’intégrale est

$-\Phi \cos \mathrm {N} \upsilon +\int \cos \mathrm {N} \upsilon d\Phi ,\quad \Phi \sin \mathrm {N} \upsilon -\int \sin \mathrm {N} \upsilon d\Phi .$