Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/492

Intégrant par parties, on aura

$\Phi \mathrm {V} -\int \mathrm {V} d\Phi \quad {\text{et}}\quad \Phi \mathrm {W} -\int \mathrm {W} d\Phi ,$

et l’on démontrera, par un raisonnement analogue à celui de ce numéro, que les valeurs des intégrales $\int \mathrm {V} d\Phi$ et $\int \mathrm {W} d\Phi$ seront renfermées entre les limites $\pm (\mathrm {V} )(\Phi )$ et $\pm (\mathrm {W} )(\Phi ),$ en désignant par $(\mathrm {V} )$ et $(\mathrm {W} )$ les plus grandes valeurs de $(\mathrm {V} )$ et $(W)$ dans la partie supérieure de l’orbite, et conservant la valeur de $(\Phi )$ de l’endroit cité. Or les maximum de $\mathrm {V}$ et $\mathrm {W}$ ayant lieu lorsque $d\mathrm {V} =0$ ou $d\mathrm {W} =0,$ c’est-à-dire, lorsque $\sin \mathrm {N} \upsilon =0$ ou $\cos \mathrm {N} \upsilon =0,$ il s’ensuit que les plus grandes valeurs des quantités $\mathrm {V}$ et $\mathrm {W}$ seront égales à $t$ (abstraction faite du signe). Si donc on désigne par $(t)$ la valeur de $t$ qui répond à toute la partie supérieure de l’orbite, c’est-à-dire, la valeur de $t$ pour le point où finit cette partie de l’orbite, on aura $(\mathrm {V} )=(t)$ et $(\mathrm {W} )=(t)\,;$ et les valeurs des intégrales $\int \mathrm {V} d\Phi ,\int \mathrm {W} d\Phi ,$ pour toute la partie supérieure de l’orbite, seront renfermées entre ces limites $\pm (t)(\Phi ).$

58. Si l’on ne jugeait pas les limites assez approchées, surtout à cause que la valeur de $(t)$ peut être assez considérable, on pourrait les resserrer davantage par une méthode analogue à celle du n^o 53.

En effet, en conservant la valeur de $\Phi '$ de ce numéro, et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {V} _{1}=&\int \mathrm {VN} d\upsilon =-\mathrm {W} -{\sqrt {\frac {\alpha ^{3}}{8(1+m)}}}\mathrm {\frac {\cos N\upsilon }{N}} ,\\\mathrm {W} _{1}=&\int \mathrm {WN} d\upsilon =\quad \mathrm {V} -{\sqrt {\frac {\alpha ^{3}}{8(1+m)}}}\mathrm {\frac {\sin N\upsilon }{N}} ,\end{aligned}}$

on transformera les différentielles $\mathrm {V} d\Phi$ et $\mathrm {W} d\Phi$ en celles-ci $\Phi 'd\mathrm {V} _{1}$ et $\Phi 'd\mathrm {W} _{1},$ dont l’intégrale, prise par parties, sera

$\Phi '\mathrm {V} _{1}-\int \mathrm {V} _{1}d\Phi '\quad {\text{et}}\quad \Phi '\mathrm {W} _{1}-\int \mathrm {W} _{1}d\Phi '\,;$