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l’Article XIX l’équation

(6)

$-d\pi d\omega -\mathrm {\frac {3(H-2K+M)}{2H}} \Gamma \cos(\nu -\varepsilon )d\mathrm {V} ^{2}+\mathrm {\frac {3N}{2H}} \Gamma \sin(\nu -\varepsilon )d\mathrm {V} ^{2}=0.$

Or (Article XIII)

$\Gamma =\sin(\nu -\varepsilon )\sin \pi +\lambda \cos \pi$

et (Article cité)

$\lambda =i\sin(\nu -\zeta )\,;$

donc

${\begin{aligned}\Gamma \cos(\nu -\varepsilon )=&{\frac {1}{2}}\sin(2\nu -2\varepsilon )\sin \pi +{\frac {1}{2}}i\sin(2\nu -\varepsilon -\zeta )\cos \pi -{\frac {1}{2}}i\sin(\zeta -\varepsilon )\pi ,\\\Gamma \sin(\nu -\varepsilon )=&{\frac {1}{2}}\left[1-\cos(2\nu -2\varepsilon )\right]\sin \pi -{\frac {1}{2}}i\cos(2\nu -\varepsilon -\zeta )\cos \pi \\&+{\frac {1}{2}}i\cos(\zeta -\varepsilon )\pi .\end{aligned}}$

De plus

$\omega =\nu -\varepsilon -\theta \quad {\text{et}}\quad d\omega =d\nu -d\varepsilon -d\theta =(1+\mu )d\mathrm {V}$ à très-peu près,

$\mu$ étant le rapport de la précession moyenne des points équinoxiaux lunaires au mouvement moyen $\mathrm {V} \,;$ en faisant ces substitutions, on remarquera que les termes qui renferment les angles $\zeta -\varepsilon$ deviendront, par l’intégration, beaucoup plus grands que les autres, parce qu’ils auront alors pour diviseur la quantité très-petite $\mu -p,$ $p$ exprimant le rapport du mouvement rétrograde moyen des nœuds de la Lune à son mouvement moyen $\mathrm {V} \,;$ donc, n’ayant égard qu’aux termes dont nous parlons, on changera l’équation (6) en celle-ci

(7)

${\begin{aligned}d\pi =&{\frac {3(\mathrm {H-2K+M} )i\cos \pi }{4(1+\mu )\mathrm {H} }}\sin(\zeta -\varepsilon )d\mathrm {V} \\&+{\frac {3\mathrm {N} i\cos \pi }{4(1+\mu )\mathrm {H} }}\cos(\zeta -\varepsilon )d\mathrm {V} +{\frac {3\mathrm {N} \sin \pi }{4(1+\mu )\mathrm {H} }}d\mathrm {V} .\end{aligned}}$

D’où l’on tire, en prenant $\varpi$ pour la valeur moyenne de $\pi ,$ lorsque $\mathrm {V} =0,$

(8)

${\begin{aligned}\pi =&\varpi -{\frac {3(\mathrm {H-2K+M} )i\cos \varpi }{4(1+\mu )(\mu -p)\mathrm {H} }}\cos(\zeta -\varepsilon )\\&+{\frac {3\mathrm {N} i\cos \varpi }{4(1+\mu )(\mu -p)\mathrm {H} }}\sin(\zeta -\varepsilon )+{\frac {3\mathrm {N} \sin \varpi }{4(1+\mu )\mathrm {H} }}\mathrm {V} .\end{aligned}}$