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Et, en supposant que $\pi ',\zeta ',\varepsilon '$ soient les valeurs de $\pi ,\zeta ,\varepsilon$ lorsque $\mathrm {V} =0,$ on aura

$\varpi =\pi +{\frac {3(\mathrm {H-2K+M} )i\cos \varpi }{4(1+\mu )(\mu -p)\mathrm {H} }}\cos(\zeta '-\varepsilon ')-{\frac {3\mathrm {N} i\cos \varpi }{4(1+\mu )(\mu -p)\mathrm {H} }}\sin(\zeta '-\varepsilon ').$

XXIV.

Résolution de l’équation (3)

$\Pi -{\frac {3\mathrm {T} }{\rho ^{3}\left(1+\lambda ^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}}\Pi '-{\frac {3\mathrm {S} }{\rho '^{3}}}\Pi ''=0.$

1^o La valeur de $\Pi$ est, par l’Article IX, en négligeant les termes multipliés par les constantes très-petites $\mathrm {M,N,\left({\frac {1}{2}}H+K\right)} ,$

${\frac {\sin \pi d\omega d\varepsilon }{dt^{2}}}\mathrm {H} +{\frac {d^{2}\pi }{dt^{2}}}\mathrm {\left({\frac {1}{2}}H-K\right)} \,;$

2^o La valeur de $\Pi '$ est, par l’Article XIV [en mettant $\sin(\nu -\varepsilon )$ au lieu de $\Delta \sin \omega -\Lambda \cos \omega ,$ et $\cos(\nu -\varepsilon )$ au lieu de $\Lambda \sin \omega +\Delta \cos \omega ,$ comme dans l’Article précédent, et négligeant de plus la quantité infiniment petite du second ordre $\lambda \sin \pi ,$ comme on l’a fait toujours],

$\mathrm {\left[\left(K-{\frac {1}{2}}H\right)\cos \pi -{\frac {1}{2}}M\right]} \Gamma \sin(\nu -\varepsilon )-{\frac {1}{2}}\mathrm {N} \Gamma \cos(\nu -\varepsilon )\,;$

3^o On mettra, comme dans l’Article précédent, ${\frac {1}{2}}\sin \pi +{\frac {1}{2}}i\cos(\zeta -\varepsilon )\cos \pi$ au lieu de $\Gamma \sin(\nu -\varepsilon ),$ $-{\frac {1}{2}}i\sin(\zeta -\varepsilon ))\cos \pi$ au lieu de $\Gamma \cos(\nu -\varepsilon ),$ $(1+\mu )d\mathrm {V}$ au lieu de $d\omega ,$ et ${\frac {3d\mathrm {V} ^{2}}{dt^{2}}}$ au lieu de ${\frac {3\mathrm {T} }{\rho ^{3}\left(1+\lambda ^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}}\,;$ on effacera le terme ${\frac {3\mathrm {S} }{\rho '^{3}}}\Pi ',$ par les raisons alléguées (Article XIX), et, divisant toute l’équation (3) par ${\frac {\sin \pi d\omega }{dt^{2}}}\mathrm {H} ,$ on aura

${\begin{aligned}d\varepsilon =&-{\frac {\mathrm {H+2K} }{2(1+\mu )\mathrm {H} }}{\frac {d^{2}\pi }{\sin \pi d\mathrm {V} }}+3{\frac {(\mathrm {2K-H} )\cos \pi -\mathrm {M} }{4(1+\mu )\mathrm {H} }}d\mathrm {V} \\&+3{\frac {(\mathrm {2K-H} )\cos \pi -\mathrm {M} }{4(1+\mu )\mathrm {H} }}{\frac {\cos \pi }{\sin \pi }}i\cos(\zeta -\varepsilon )d\mathrm {V} \\&+3{\frac {\mathrm {N} i\cos \pi }{4(1+\mu )\mathrm {H} \sin \pi }}\sin(\zeta -\varepsilon )d\mathrm {V} .\end{aligned}}$