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Remarque III.

4. Il y a cependant une espèce d’inégalités qui paraît faire une exception à la règle générale je parle des inégalités séculaires qui augmentent comme les carrés des temps ; mais, d’un côté, il paraît très-probable que ces sortes d’inégalités ne sont qu’apparentes et ne viennent que de quelques équations dont les arguments ne varient que très-peu, en sorte que leur période est très-longue ; de l’autre, elles ne sont, à proprement parler, que des cas particuliers de la formule générale, comme nous le ferons voir dans la suite de ce Mémoire. D’ailleurs il est toujours possible de se débarrasser d’avance de ces sortes d’inégalités, et nous fournirons pour cela des moyens aussi simples que commodes.

proposition I.

Théorème.

5. Toute série dont un terme quelconque est représenté par la formule

$\mathrm {A} \sin(a+m\alpha )+\mathrm {B} \sin(b+m\beta )+\mathrm {C} \sin(c+m\gamma )+\ldots ,$

$m$ étant le nombre des termes précédents, est une série récurrente dont l’échelle de relation dépend uniquement des angles $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots .$

Dénotons, en général, par

$\mathrm {T,\ \ T',\ \ T'',\ \ T'''} ,\ldots ,\quad \mathrm {T} ^{(m)},\mathrm {T} ^{(m+1)},\ldots$

les termes de la série proposée, en sorte que l’on ait

$\mathrm {T} ^{(m)}=\mathrm {A} \sin(a+m\alpha )+\mathrm {B} \sin(b+m\beta )+\mathrm {C} \sin(c+m\gamma )+\ldots ,$

et examinons la nature de la suite infinie

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\ldots +\mathrm {T} ^{(m)}x^{m}+\mathrm {T} ^{(m+1)}x^{m+1}+\ldots .$