Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/514

On sait que

$\sin \varphi ={\frac {e^{\varphi {\sqrt {-1}}}-e^{-\varphi {\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},$

$e$ étant lé nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité ; donc, faisant, pour abréger,

$\mathrm {K} ={\frac {\mathrm {A} e^{a{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},\quad \mathrm {L} =-{\frac {\mathrm {A} e^{-a{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},\quad p=e^{\alpha {\sqrt {-1}}},\quad q=e^{-\alpha {\sqrt {-1}}},$

on aura

$\mathrm {A} \sin(a+m\alpha )=\mathrm {K} p^{m}+\mathrm {L} q^{m}\,;$

de même, si l’on fait

${\begin{alignedat}{4}\mathrm {M} =&{\frac {\mathrm {B} e^{b{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},\quad &\mathrm {N} =&-{\frac {\mathrm {B} e^{-b{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},\quad &r=&e^{\beta {\sqrt {-1}}},\quad &s=&e^{-\beta {\sqrt {-1}}},\\\mathrm {P} =&{\frac {\mathrm {C} e^{c{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},&\mathrm {Q} =&-{\frac {\mathrm {C} e^{-c{\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}},&t=&e^{\gamma {\sqrt {-1}}},&u=&e^{-\gamma {\sqrt {-1}}},\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

on aura

${\begin{aligned}&\mathrm {B} \sin(b+m\beta )=\mathrm {M} r^{m}+\mathrm {N} s^{m},\\&\mathrm {C} \sin(c+m\gamma \,)=\mathrm {P} \,t^{m}+\mathrm {Q} u^{m},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et le terme général $\mathrm {T} ^{(m)}$ prendra cette forme

$\mathrm {T} ^{(m)}=\mathrm {K} p^{m}+\mathrm {L} q^{m}+\mathrm {M} r^{m}+\mathrm {N} s^{m}+\mathrm {P} t^{m}+\mathrm {Q} u^{m}+\ldots .$

D’où l’on voit que la suite

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\ldots$

n’est autre chose que la somme de plusieurs séries géométriques, dont les premiers termes sont $\mathrm {K,L,M} ,\ldots$ et dont les raisons sont $px,qx,rx,\ldots ,$ de sorte qu’en sommant chacune de ces séries géométriques on aura la valeur de toute la série

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\ldots .$