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On aura donc de cette manière l’équation identique

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots =$

${\frac {\mathrm {K} }{1-px}}+{\frac {\mathrm {L} }{1-qx}}+{\frac {\mathrm {M} }{1-rx}}+{\frac {\mathrm {N} }{1-sx}}+\ldots \,;$

et il est clair qu’en réduisant au même dénominateur les fractions qui composent le second membre de cette équation, et dont nous supposerons que le nombre soit $n,$ ce second membre se transformera en une fraction unique de la forme

${\frac {[0]+[\ 1\,]x+[2]x^{2}+[3]x^{3}+\ldots +[n-1]x^{n-1}}{(0)+(1)x+(2)x^{2}+(3)x^{3}+\ldots +(n)x^{n}\quad \ \ \ }},$

où les nombres $0,1,2,3,\ldots ,$ renfermés dans des crochets carrés ou ronds, désignent des coefficients différents qui dépendent des quantités $\mathrm {K,L,M} ,$ $\mathrm {N} ,\ldots ,$ $p,q,r,s,\ldots .$ Et, comme le dénominateur de cette fraction doit être égal au produit des $n$ dénominateurs $1-px,\ 1-qx,$ $1-rx,$ $1-sx,\ldots ,$ il est d’abord évident qu’on aura

${\begin{aligned}&(0)=1,\\&(1)=-p-q-r-s-\ldots ,\\&(2)=pq+pr+ps+\ldots +qr+qs+\ldots ,\\&(3)=-pqr-pqs-qrs-\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

de sorte que les coefficients $(0),(1),(2),(3),\ldots$ du dénominateur de la fraction dont il s’agit seront donnés uniquement par les quantités $p,q,r,s,\ldots .$

Ainsi la série proposée sera égale à cette dernière fraction, que nous appellerons par conséquent fraction génératrice de la série ; d’où il est facile de conclure que la même série sera du genre de celles qu’on nomme récurrentes, et dont la propriété est qu’un terme quelconque se forme de l’addition d’un certain nombre de termes précédents, multipliés chacun par un coefficient donné ; car, en multipliant la série

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\ldots$