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mée par ${\frac {1}{(1-px)^{4}}},$ et ainsi de suite ; donc la somme de la suite qui aura le terme général

$\left[\mathrm {K} _{0}+\mathrm {K} _{1}(m+1)+\mathrm {K} _{2}{\frac {(m+1)(m+2)}{2}}+\mathrm {K} _{3}{\frac {(m+1)(m+2)(m+3)}{2.3}}+\ldots \right.$

$\left.+\mathrm {K} _{\mu -1}{\frac {(m+1)(m+2)(m+3)\ldots (m+\mu -1)}{2.3\ldots (\mu -1)}}\right]p^{m}x^{m}$

sera égale à

${\frac {\mathrm {K} _{0}}{1-px}}+{\frac {\mathrm {K} _{1}}{(1-px)^{2}}}+{\frac {\mathrm {K} _{2}}{(1-px)^{3}}}+\ldots +{\frac {\mathrm {K} _{\mu -1}}{(1-px)^{\mu }}},$

c’est-à-dire, à la fraction simple

${\frac {\mathrm {K} _{0}(1-px)^{\mu -1}+\mathrm {K} _{1}(1-px)^{\mu -2}+\mathrm {K} _{2}(1-px)^{\mu -3}+\ldots +\mathrm {K} _{\mu -1}}{(1-px)^{\mu }}},$

d’où il s’ensuit que, si l’on a une série dont le terme général soit représenté par la formule

$\left(\mathrm {K} +\mathrm {K} 'm+\mathrm {K} ''m^{2}+\mathrm {K} '''m^{3}+\ldots +\mathrm {K} ^{(\mu -1)}m^{\mu -1}\right)p^{m}x^{m},$

il n’y aura qu’à chercher les quantités $\mathrm {K_{0},K_{1},K_{2},\ldots ,K_{\mu -1}} ,$ en sorte que l’on ait l’équation identique

$\mathrm {K} +\mathrm {K} 'm+\mathrm {K} ''m^{2}+\ldots +\mathrm {K} ^{(\mu -1)}m^{\mu -1}=\mathrm {K} _{0}+\mathrm {K} _{1}(m+1)+\mathrm {K} _{2}{\frac {(m+1)(m+2)}{2}}$

$+\mathrm {K} _{3}{\frac {(m+1)(m+2)(m+3)}{2.3}}+\ldots +\mathrm {K} _{\mu -1}{\frac {(m+1)(m+2)\ldots (m+\mu -1)}{1.3\ldots (\mu -1)}},$

et l’on aura, pour la somme de la série, la fraction ci-dessus, dont le numérateur est, comme l’on voit, un polynôme du degré $\mu -1$ et dont le dénominateur est la puissance $\mu$^ième du binôme $1-px\,;$ de sorte que la série proposée sera une série récurrente de l’ordre $\mu ,$ et dont l’échelle de relation sera

$\mu p_{1},\quad -{\frac {\mu (\mu -1)}{2}}p_{1}^{2},\quad +{\frac {\mu (\mu -1)(\mu -2)}{2.3}}p_{1}^{3},\quad -\ldots ,\quad \pm p^{\mu }.$