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Quant aux coefficients $\mathrm {K_{0},K_{1},K_{2}} ,\ldots ,$ il est facile de les trouver de la manière suivante. Qu’on suppose, en général,

$\mathrm {K} +\mathrm {K} 'm+\mathrm {K} ''m^{2}+\mathrm {K} '''m^{3}+\ldots +\mathrm {K} ^{(\mu -1)}m^{\mu -1}=\mathrm {S} ,$

et qu’on dénote par $\mathrm {S',S'',S'''} ,\ldots$ les valeurs de $\mathrm {S}$ lorsque $m=-1,-2,$ $-3,\ldots \,;$ on aura donc, en vertu de l’équation supposée,

${\begin{aligned}&\mathrm {S'\ \ =K_{0}} ,\\&\mathrm {S''\ =K_{0}-K_{1}} ,\\&\mathrm {S'''=K_{0}-2K_{1}+K_{2}} ,\\&\mathrm {S^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=K_{0}-3K_{1}+3K_{2}-K_{3}} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}&\quad \ \mathrm {K_{0}=S'} ,\\&-\mathrm {K_{1}=S''\ -S'} ,\\&\quad \ \mathrm {K_{2}=S'''-2S''\ +S'} ,\\&-\mathrm {K_{3}=S^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-3S'''+3S''-S'} ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

en sorte que les coefficients $\mathrm {K_{0},K_{1},K_{2},K_{3}} ,\ldots$ ne seront autre chose que les différences successives des quantités $\mathrm {S',S'',S'''} ,\ldots$ prises alternativement en $-$ et en $+.$

Enfin il est clair que, si la suite proposée est composée de plusieurs suites de la forme précédente, il n’y aura qu’à ajouter ensemble les fractions qui expriment la somme de chacune de ces suites continuées à l’infini, et l’on aura une fraction unique qui sera égale à la série proposée, et dont le dénominateur sera de la forme

$(1-px)^{\mu }(1-qx)^{\nu }\ldots .$

De sorte que cette série sera récurrente de l’ordre

$\mu +\nu +\ldots ,$

ayant pour échelle les coefficients pris négativement des puissances $x,$