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ainsi, mettant $x$ à la place de $x^{2},$ ou $x^{3},\ldots ,$ les séries

${\begin{aligned}&\mathrm {T} +\mathrm {T} ''\,x+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{2}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}x^{3}+\ldots ,\\&\mathrm {T} +\mathrm {T} '''x+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}x^{2}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IX}}}x^{3}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

seront récurrentes et auront pour échelles de relation les polynômes

${\begin{aligned}&\left(1-p^{2}x\right)^{\mu }\left(1-q^{2}x\right)^{\nu }\ldots ,\\&\left(1-p^{3}x\right)^{\mu }\left(1-q^{3}x\right)^{\nu }\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Enfin, si l’on a différentes séries récurrentes, telles que

${\begin{aligned}&\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots ,\\&\mathrm {V} +\mathrm {V} 'x+\mathrm {V} ''x^{2}+\mathrm {V} '''x^{3}+\mathrm {V} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots ,\\&\mathrm {X} +\mathrm {X} 'x+\mathrm {X} ''x^{2}+\mathrm {X} '''x^{3}+\mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et que l’on en compose une nouvelle de la forme

$\varphi (\mathrm {T,V,X} ,\ldots )+\varphi (\mathrm {T',V',X'} ,\ldots )x+\varphi (\mathrm {T'',V'',X''} ,\ldots )x^{2}+\ldots ,$

celle-ci sera encore récurrente, et son échelle dépendra uniquement de celles des séries particulières d’où elle est formée ; et la difficulté de trouver cette échelle ne consistera qu’à trouver l’équation dont les racines seront des fonctions données de celles de quelques équations données, Problème toujours résoluble par les méthodes connues.

Corollaire III.

8. De même que, lorsqu’on connaît le terme général d’une série récurrente, on peut trouver la fraction génératrice de la série, de même, en connaissant cette fraction, on pourra en déduire l’expression du terme général ; car il n’y aura d’abord qu’à chercher tous les facteurs du dénominateur, et à décomposer ensuite, par les méthodes connues, la frac-