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Corollaire IV.

9. Concluons de là que chaque facteur simple du dénominateur de la fraction génératrice proposée, tel que $1-px,$ donnera, dans l’expression du terme général de la série, le terme $Kp^{m}x^{m},$ et que chaque facteur multiple, tel que $(1-px)^{\mu },$ y donnera les termes

$\left(\mathrm {K} +\mathrm {K} 'm+\mathrm {K} ''m^{2}+\mathrm {K} '''m^{3}+\ldots +\mathrm {K} ^{(\mu -1)}m^{\mu -1}\right)p^{m}x^{m}.$

Si $p$ est imaginaire, il sera réductible à la forme $t+u{\sqrt {-1}},$ et il y aura nécessairement un facteur correspondant $1-qx,$ où $q$ sera de la forme $t-u{\sqrt {-1}}\,;$ de là on trouvera que les coefficients $\mathrm {K,K',K''} ,\ldots$ seront chacun de la forme

$h+l{\sqrt {-1}},\quad h'+l'{\sqrt {-1}},\quad h''+l''{\sqrt {-1}},\ldots ,$

et les quantités correspondantes, provenant de l’autre facteur $1-qx,$ seront de la forme

$h-l{\sqrt {-1}},\quad h'-l'{\sqrt {-1}},\quad h''-l''{\sqrt {-1}},\ldots .$

Or soient

${\sqrt {t^{2}+u^{2}}}=r,\quad {\frac {u}{t}}=\operatorname {tang} \alpha ,$

${\sqrt {h^{2}+l^{2}}}=f,\quad {\frac {l}{h}}=\operatorname {tang} a,\quad {\sqrt {h'^{2}+l'^{2}}}=f',\quad {\frac {l'}{h'}}=\operatorname {tang} a',\ldots \,;$

on aura

${\begin{aligned}p\ \ =&r\left(\cos \alpha +\sin \alpha {\sqrt {-1}}\right),\\p^{m}=&r^{m}\left(\cos m\alpha +\sin m\alpha {\sqrt {-1}}\right),\\\mathrm {K} \ =&f\ \left(\cos a\ +\sin a\ {\sqrt {-1}}\right),\\\mathrm {K} '=&f'\left(\cos a'+\sin a'{\sqrt {-1}}\right),\ldots .\end{aligned}}$

Donc

${\begin{aligned}\mathrm {K} \ p^{m}=&f\ r^{m}\left[\cos(a\ +m\alpha )+\sin(a\ +m\alpha ){\sqrt {-1}}\right],\\\mathrm {K} 'p^{m}=&f'r^{m}\left[\cos(a'+m\alpha )+\sin(a'+m\alpha ){\sqrt {-1}}\right],\ldots ,\end{aligned}}$