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et les quantités correspondantes ne différeront de celles-ci que par le signe du radical ${\sqrt {-1}}\,;$ de sorte qu’en rassemblant toutes ces quantités on trouvera que les facteurs multiples imaginaires $(1-px)^{\mu },(1-qx)^{\mu }$ donneront, dans l’expression du terme général de la série, les termes suivants

$\left[f\cos(a+m\alpha )+f'm\cos(a'+m\alpha )+f''m^{2}\cos(a''+m\alpha )+\ldots \right]r^{m}x^{m},$

et chaque autre couple de facteurs imaginaires donnera des termes semblables.

Quoique toutes ces choses soient assez connues, j’ai cru devoir les rappeler à mes lecteurs, parce qu’elles donnent lieu à des conséquences importantes dans la matière qui fait l’objet de ce Mémoire. Une des principales, c’est que, quelque dérangement que les Corps célestes puissent éprouver en vertu de leur action mutuelle, et même de la résistance d’un fluide très-rare dans lequel ils nageraient, leurs mouvements en temps égaux seront toujours représentés par des séries du genre des récurrentes car les termes les plus compliqués que la Théorie puisse jamais donner dans l’expression du mouvement vrai d’une planète quelconque seront de la forme

$\mathrm {K} \varphi ^{m}c^{n\varphi }\cos(a+b\varphi ),$

$\varphi$ étant l’arc du mouvement moyen et $a,b,c,m,n,\mathrm {K}$ des coefficients constants quelconques ; or il est clair, par ce qu’on a vu ci-dessus, que toute série qui naîtra de cette formule ou de la somme de plusieurs formules semblables, en donnant successivement à $\varphi$ des valeurs qui augmentent en progression arithmétique, sera toujours récurrente.

Donc, si l’on a une suite d’observations d’une planète quelconque, faites à des intervalles de temps égaux, on est en droit de regarder les résultats de ces observations comme formant une suite récurrente d’un ordre quelconque, et toute la difficulté se réduira à trouver la loi de la série ; c’est l’objet du Problème suivant.