Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/531

d’où

${\begin{aligned}&s\ \ \ ={\frac {1}{p+qx+{\cfrac {s'}{s}}x^{2}}},\\&{\frac {s'}{s}}\ ={\frac {1}{p'+q'x+{\cfrac {s''}{s'}}x^{2}}},\\&{\frac {s''}{s'}}\ ={\frac {1}{p''+q''x+{\cfrac {s'''}{s''}}x^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\&{\frac {s^{(n-1)}}{s^{(n-2)}}}={\frac {1}{p^{(n-1)}+q^{(n-1)}x}}.\end{aligned}}$

Donc

$s={\frac {1}{p+qx+{\cfrac {x^{2}}{p'+q'x+{\cfrac {x^{2}}{p''+q''x+{\cfrac {x^{2}}{p'''+q'''x+\ddots +{\cfrac {x^{2}}{p^{(n-1)}+q^{(n-1)}x}}}}}}}}}}.$

Ainsi il n’y aura plus qu’à réduire cette fraction continue en une franction ordinaire, qui sera par conséquent la fraction cherchée ; et il est clair que cette fraction aura pour numérateur un polynôme du degré $n-1,$ et pour dénominateur un polynôme du degré $n,$ dont les coefficients donneront l’échelle de relation de la série.

Ayant trouvé ainsi la fraction génératrice de la série, on en déduira aisément l’expression du terme général de la série par les méthodes connues.

Corollaire.

11. Pour faire avec facilité la réduction dont il s’agit, il n’y aura qu’à considérer la suite des quotients

$p+qx,\quad p'+q'x,\ldots ,\quad p^{(n-1)}+q^{(n-1)}x,$