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et de là

${\frac {s'}{s''}}={\frac {a''+b''x}{a'''}}=p'''+q'''x.$

D’où il s’ensuit qu’en divisant le polynôme $s'$ par le polynôme $s'',$ on aura nécessairement un quotient fini, tel que $p'''+q'''x.$

Si la série proposée était récurrente d’un ordre quelconque supérieur, on y pourrait faire des raisonnements et des opérations semblables. De là je conclus, en général, que, pour reconnaître si la série proposée $s$ est récurrente d’un ordre quelconque, il n’y a qu’à diviser d’abord l’unité par $s$ jusqu’à ce qu’on ait dans le quotient deux termes tels que $p+qx,$ et, dénotant le reste par $s'x^{2},$ on divisera ensuite $s$ par $s'$ jusqu’à ce que l’on ait aussi dans le quotient deux termes comme $p'+q'x\,;$ dénotant de même le reste par $s''x^{2},$ on divisera encore $s'$ par $s''$ jusqu’à ce que l’on ait dans le quotient deux termes comme $p''+q''x\,;$ et ainsi de suite. Si la série $s$ est véritablement récurrente d’un ordre quelconque $n,$ l’opération se terminera nécessairement à la $n$^ième division ; en sorte que le reste $s^{(n)}x^{2}$ sera nul ; sinon l’opération ira à l’infini.

Lors donc qu’on sera parvenu à une division qui ne laissera aucun reste, on sera d’abord assuré que la série proposée est récurrente d’un ordre égal au quantième de cette division ; et, de plus, les quotients trouvés donneront la fraction même d’où la série tire son origine.

Car on a les équations suivantes

${\begin{aligned}{\frac {1}{s}}\ \ &=p+qx+{\frac {s'x^{2}}{s}},\\{\frac {s}{s'}}\ &=p'+q'x+{\frac {s''x^{2}}{s'}},\\{\frac {s'}{s''}}\,&=p''+q''x+{\frac {s'''x^{2}}{s''}},\\{\frac {s''}{s'''}}&=p'''+q'''x+{\frac {s^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{2}}{s'''}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$