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des quantités, $\xi ,\xi ',\xi '',\ldots ,\xi ^{(n)}$ de la manière suivante

${\begin{aligned}\xi \ \ \,&=1,\\\xi '\ \ &=\,\ \ p^{(n-1)}+q^{(n-1)}x,\\\xi ''\ &=\left(p^{(n-2)}+q^{(n-2)}x\right)\xi '\ \,+r^{(n-1)}x^{\sigma }\xi ,\\\xi '''&=\left(p^{(n-3)}+q^{(n-3)}x\right)\xi ''\ +r^{(n-2)}x^{\rho }\xi ',\\\xi ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=\left(p^{(n-4)}+q^{(n-4)}x\right)\xi '''+r^{(n-3)}x^{\pi }\xi '',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\xi ^{(n)}&=(p+qx)\xi ^{(n-1)}+r'x^{\lambda }\xi ^{(n-2)}\,;\end{aligned}}$

ensuite de quoi on aura ${\frac {\xi ^{(n-1)}}{\xi ^{(n)}}}$ pour la fraction génératrice de la série, où il est bon de remarquer que le polynôme $\xi ^{(n)}$ sera du degré

$n+(\sigma -2)+(\rho -2)+(\varpi -2)+\ldots +(\lambda -2),$

en sorte que l’ordre de la série récurrente sera aussi marqué par ce même nombre.

Exemple II.

14. Soit proposée la série des nombres

$1,\ \ 1,\ \ 1,\ \ 2,\ \ 4,\ \ 6,\ \ 7,\ \ 7,\ \ 7,\ \ 8,\ \ 10,\ \ 12,\ \ 13,\ \ 13,\ \ 13,\ \ 14,\ \ 16,\ldots ,$

dont la loi est assez claire ; on demande si cette série est du genre des récurrentes, et quelle doit être, en ce cas, l’expression de son terme général.

On formera pour cela la série

$s=1+x+x^{2}+2x^{3}+4x^{4}+6x^{5}+7x^{6}+7x^{7}+7x^{8}+8x^{9}+\ldots ,$

et l’on divisera d’abord $1$ par $s,$ ce qui donnera le quotient $1-x$ et le reste

$-x^{3}-2x^{4}-2x^{5}-x^{6}{\text{★★}}-x^{9}-2x^{10}-2x^{11}-x^{12}{\text{★★}}-x^{15}-\ldots \,;$

qu’on divise ce reste par le premier terme $-x^{3},$ et l’on aura le polynôme

$s'=1+2x+2x^{2}+x^{3}{\text{★★}}+x^{6}+2x^{7}+2x^{8}+x^{9}{\text{★★}}+x^{12}+\ldots ,$