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par lequel on divisera maintenant le polynôme $s,$ ce qui donnera le quotient $1-x$ et le reste

$x^{2}+3x^{3}+5x^{4}+6x^{5}+6x^{6}+6x^{7}+7x^{8}+9x^{9}+11x^{10}$

$+12x^{11}+12x^{12}+12x^{13}+\ldots \,;$

on divisera donc ce reste par le premier terme $x^{2}$ pour avoir le polynôme

$s''=1+3x+5x^{2}+6x^{3}+6x^{4}+6x^{5}+7x^{6}+9x^{7}+11x^{8}$

$+12x^{9}+12x^{10}+\ldots ,$

et ensuite on divisera le polynôme $s'$ par le dernier polynôme $s'',$ ce qui donnera le quotient $1-x$ et un reste nul ; d’où l’on conclura d’abord que la série proposée est effectivement récurrente.

Pour en trouver maintenant la fraction génératrice, il n’y aura qu’à considérer les quotients $1-x,1-x,1-x,$ et les premiers termes des restes $-x^{3},x^{2}\,;$ et, prenant tant les uns que les autres à rebours, on en formera les quantités suivantes

${\begin{aligned}\xi \ \ \,&=1,\\\xi '\ \ &=1-x,\\\xi ''\ &=(1-x)\xi '\ -x^{2}\xi \ =1-2x+2x^{2},\\\xi '''&=(1-x)\xi ''-x^{3}\xi '=1-3x+4x^{2}-3x^{3}+x^{4},\end{aligned}}$

dont les deux dernières donneront la fraction cherchée ${\frac {\xi ''}{\xi '''}},$ savoir

${\frac {1-2x+2x^{2}}{1-3x+4x^{2}-3x^{3}+x^{4}}}.$

D’où l’on voit que la série proposée est récurrente du quatrième ordre, ayant pour échelle de relation les coefficients $3,-4,3,-1.$ Or, comme le dénominateur

$1-3x+4x^{2}-3x^{3}+x^{4}.$

se résout dans les facteurs

$(1-x)^{2},\quad 1-x+x^{2},$