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Remarque II.

15. Au reste il serait peut-être encore plus simple et plus commode d’employer dans Le calcul les restes tels qu’ils se trouvent, sans les diviser par leurs premiers termes, comme nous l’avons dit ci-dessus ; il est vrai que 1, de cette manière, les quotients renfermeront nécessairement des puissances négatives de $x\,;$ mais il n’y aura alors qu’à faire disparaître les puissances négatives de la fraction génératrice ${\frac {\xi ^{(n-1)}}{\xi ^{(n)}}},$ en multipliant le haut et le bas par la plus haute puissance négative qui s’y trouvera.

Ainsi l’on peut réduire la solution du Problème précédent à cette règle fort simple :

Divisez l’unité par la série proposée $s,$ et continuez la division jusqu’à ce qu’il y ait dans le quotients deux termes qui renferment deux puissances consécutives de $x,$ comme $px^{\lambda }+q^{\lambda +1}\,;$ divisez ensuite la série $s$ par le reste de cette division, et avec les mômes conditions ; divisez, après cela, le second reste par le premier, et continuez ainsi en divisant le nouveau reste par le précéclent, de manière qu’il y ait toujours dans chaque quotient deux termes de la forme précédente ; si la série $s$ est récurrente, on parviendra nécessairement à une division exacte ; et alors, nommant

$px^{\lambda }+q^{\lambda +1},\quad p'x^{\mu }+q'^{\mu +1},\quad p''x^{\nu }+q''^{\nu +1},\ldots ,\quad p^{(n-1)}x^{\sigma }+q^{(n-1)}x^{\sigma +1}$

les quotients trouvés dans les $n$ divisions, on aura

$s={\frac {1}{px^{\lambda }+qx^{\lambda +1}+{\cfrac {1}{p'x^{\mu }+q'x^{\mu +1}+{\cfrac {1}{p''x^{\nu }+q''x^{\nu +1}+\ddots +{\cfrac {1}{p^{(n-1)}x^{\sigma }+q^{(n-1)}x^{\sigma +1}}}}}}}}}\,;$