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Donc, faisant

${\begin{aligned}\xi \ \ \,&=1,\\\xi '\ \ &=\ \ p^{(n-1)}x^{\sigma }+q^{(n-1)}x^{\sigma +1},\\\xi ''\ &=\left(p^{(n-2)}x^{\rho }+q^{(n-2)}x^{\rho +1}\right)\xi '\,\ +\xi ,\\\xi '''&=\left(p^{(n-3)}x^{\pi }+q^{(n-3)}x^{\pi +1}\right)\xi ''\ +\xi ',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\xi ^{(n)}&=\left(px^{\lambda }+qx^{\lambda +1}\right)\xi ^{(n-1)}+\xi ^{(n-2)},\end{aligned}}$

on aura

$s={\frac {\xi ^{(n-1)}}{\xi ^{(n)}}}.$

Exemple III.

16. Pour confirmer la règle précédente par un Exemple, soit proposée la série

$1,\ \ 4,\ \ 10,\ \ 19,\ \ 31,\ \ 46,\ \ 64,\ \ 85,\ \ 109,\ \ 136,\ \ 166,\ \ 199,\ldots ,$

on en formera la série

$s=1+4x+10x^{2}+19x^{3}+31x^{4}+46x^{5}+64x^{6}+85x^{7}+109x^{8}$

$+136x^{9}+166x^{10}+\ldots ,$

et l’on fera l’opération suivante, qui est analogue à celle qui sert à trouver le plus grand commun diviseur de deux quantités. Divisant d’abord $1$ par $s,$ on trouvera le quotient $1-4x,$ et le reste

$s'=6x^{2}+21x^{3}+45x^{4}+78x^{5}+120x^{6}+171x^{7}+231x^{8}+300x^{9}+\ldots .$

Divisant ensuite $s$ par $s',$ on a le quotient ${\frac {1}{6x^{2}}}+{\frac {1}{12x}},$ et le reste

$s''={\frac {3x^{2}}{4}}+{\frac {9x^{3}}{4}}+{\frac {9x^{4}}{2}}+{\frac {15x^{5}}{2}}+{\frac {45x^{6}}{4}}+{\frac {63x^{7}}{4}}+21x^{8}+27x^{9}+\ldots \,;$

continuant ainsi à diviser $s'$ par $s'',$ on aura le quotient $8+4x,$ et comme il ne reste rien de cette division, l’opération sera terminée ; en sorte qu’on sera assuré que la série proposée est véritablement récurrente.