en marquant par 
les différences successives des premiers termes de la série 
c’est-à-dire, les différences première, deuxième, troisième, de ses termes, en sorte que l’on ait
Cette nouvelle série sera donc égale à la fraction
^{n-1}+[1]x(1+x)^{n-2}+[2]x^{2}(1+x)^{n-3}+\ldots +[n-1]x^{n-1}}{(0)(1+x)^{n}+(1)x(1+x)^{n-1}+(2)x^{2}(1+x)^{n-2}+\ldots +(n)x^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/144254275a533d5680de25861f85fb6cb4b9a8bb)
dont le numérateur et le dénominateur, étant développés et ordonnés suivant les puissances de 
seront aussi des polynômes, l’un du degré 
l’autre du degré 
comme ceux de la fraction génératrice de la série primitive ; d’où il est aisé de conclure que la série des différences
sera également une série récurrente du même ordre 
que la proposée
On pourra donc aussi appliquer notre méthode à la série des différences dont nous venons de parler, et dès qu’on en aura trouvé la fraction génératrice, si elle en a une, il n’y aura qu’à y substituer 
à la place de et la diviser en même temps par 
on aura sur-le-champ la fraction génératrice même de la série proposée.
Si la série proposée est purement algébrique de l’ordre alors on sait que les différences de l’ordre 
doivent être constantes, et par conséquent celles des ordres suivants nulles ; en sorte qu’on doit avoir dans ce cas
