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or c’est aussi ce qui résulte de l’analyse précédente ; car dans ce cas la fraction génératrice de la série aura pour dénominateur $(1-x)^{n},$ et il est facile de voir qu’en y faisant les substitutions et les réductions indiquées pour avoir la fraction génératrice de la série des différences, cette dernière fraction ne contiendra plus $x$ à son dénominateur, de sorte qu’elle deviendra un simple polynôme du degré $n-1\,;$ d’où il s’ensuit que les termes affectés de $x^{n},x^{n+1},\ldots$ dans la série des différences devront être nuls ; ce qui donnera donc

$\Delta ^{n}\mathrm {T} =0,\quad \Delta ^{n+1}\mathrm {T} =0,\ldots .$

En général, si la série proposée

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\ldots$

qu’on suppose toujours de l’ordre $n,$ contient une partie purement algébrique de l’ordre $m-1,$ le dénominateur de sa fraction génératrice aura nécessairement pour facteur la puissance $(1-x)^{m},$ laquelle s’évanouira par la substitution de ${\frac {x}{1+x}}$ à la place de $x\,;$ en sorte que la série des différences se trouvera rabaissée d’elle-même à l’ordre $n-m\,;$ mais elle aura au commencement $m$ termes irréguliers, après lesquels elle deviendra régulière de l’ordre $n-m,$ comme on l’a expliqué ci-dessus (n^o 18).

Ainsi, en rejetant les termes irréguliers

$\mathrm {T} ,\quad \Delta \mathrm {T} .x,\quad \Delta ^{2}\mathrm {T} .x^{2},\ldots ,\quad \Delta ^{m-1}\mathrm {T} .x^{m-1},$

laquelle sera donc récurrente de l’ordre $n-m$ et ne contiendra plus de partie algébrique.