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n’y aura qu’à la multiplier par le polynôme formé des facteurs $1-px,1-qx,$ c’est-à-dire, par

$1-(p+q)x+pqx^{2},$

et, désignant par

$t+t'x+t''x^{2}+t'''x^{3}+t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots$

la série résultant de cette multiplication, il est clair que cette série aura pour fraction génératrice $\mathrm {\frac {P}{Q}} ,$ en supposant

$\mathrm {Q} =(1-px)(1-qx)\mathrm {Q} ',$

en sorte que $\mathrm {Q} '$ sera un polynôme du degré $n-2,$ formé par le produit des autres facteurs simples $1-rx,\ 1-sx,\ldots .$ Qu’on retranche maintenant de part et d’autre les deux premiers termes $t+t'x$ de la série, on aura

$t''x^{2}+t'''x^{3}+t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+t^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}x^{5}+\ldots =\mathrm {\frac {P}{Q'}} -(t+t'x)={\frac {\mathrm {P} -(t+t'x)\mathrm {Q} '}{\mathrm {Q} '}}.$

Or, $\mathrm {P}$ étant un polynôme du degré $n-1$ et $\mathrm {Q} '$ un polynôme du degré $n-2,$ il est clair que

$\mathrm {P} -(t+t'x)\mathrm {Q} '$

sera aussi un polynôme du degré $n-1\,;$ et, comme toute la série est divisible par $x^{2},$ il s’ensuit que ce dernier polynôme devra l’être aussi, et qu’il manquera par conséquent de ses deux premiers termes, en sorte qu’il sera de la forme $x^{2}\mathrm {P} ',$ $\mathrm {P} '$ étant un polynôme du degré $n-3\,;$ donc, divisant de côté et d’autre par $x^{2},$ on aura la série

$t''+t'''x+t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{2}+t^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}x^{3}+\ldots ,$

dont la fraction génératrice sera $\mathrm {\frac {P'}{Q'}} \,;$ en sorte que le terme général de cette nouvelle série sera de la forme

$\mathrm {M} 'r^{m}+\mathrm {N} 's^{m}+\ldots ,$

de manière qu’elle sera récurrente de l’ordre $n-2.$