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Or, si l’on traite cette série par notre méthode et qu’on en détermine la fraction génératrice $\mathrm {\frac {P'}{Q'}} ,$ on pourra retrouver la fraction primitive $\mathrm {\frac {P}{Q}}$ de la série proposée ; car on a d’un côté

$\mathrm {Q} =(1-px)(1-qx)\mathrm {Q} ',$

et de l’autre on a

$\mathrm {P} -(t+t'x)\mathrm {Q} '=\mathrm {P} 'x^{2},$

et, par conséquent,

$\mathrm {P} =(t+t'x)\mathrm {Q} '+\mathrm {P} 'x^{2}.$

En général, soit $\mathrm {R}$ le facteur connu de $\mathrm {Q} ,$ lequel soit du degré $p,$ en sorte que $\mathrm {Q=RQ'} ,$ $\mathrm {Q} '$ étant un polynôme du degré $n-p\,;$ on multipliera la série proposée par $\mathrm {R} ,$ ensuite on en retranchera les $p$ premiers termes que je désignerai par $\mathrm {S} ,$ et le reste, étant divisé par $x^{p},$ sera une série récurrente de l’ordre $n-p\,;$ en sorte que la recherche de la fraction génératrice sera beaucoup plus simple que celle de la fraction de la série primitive. Or soit $\mathrm {\frac {P'}{Q'}}$ la fraction génératrice de cette nouvelle série ; on fera

$\mathrm {Q=RQ'} \quad {\text{et}}\quad \mathrm {P=SQ'} +x^{p}\mathrm {P} ',$

et la fraction $\mathrm {\frac {P}{Q}}$ sera celle de la série proposée

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\ldots .$

PROPOSITION III.

Problème.

21. Étant donnée une suite récurrente dont on connaisse déjà la fraction génératrice, on propose de trouver la fraction génératrice de la même série continuée en arrière.

Soient

$\mathrm {T} ,\ \ \mathrm {T} ',\ \ \mathrm {T} '',\ \ \mathrm {T} ''',\ldots ,\ \ \mathrm {T} ^{(m)},\ \ \mathrm {T} ^{(m+1)},\ldots$