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qui précèdent le terme $\mathrm {T} ^{0},$ il n’y aura qu’à faire successivement

$m=-1,\ \ -2,\ \ -3,\ldots ,\ \ -m\,;$

de sorte qu’on aura

$^{(m)}\mathrm {T} =\mathrm {K} p^{-m}+\mathrm {L} q^{-m}+\mathrm {M} r^{-m}+\mathrm {N} s^{-m}+\ldots \,;$

donc le terme général $^{(m)}\mathrm {T} x^{m}$ de la série

$\mathrm {T} +\,^{\text{‵}}\mathrm {T} x+\,^{\text{‵‵}}\mathrm {T} x^{2}+\,^{\text{‵‵‵}}\mathrm {T} x^{3}+\ldots$

sera représenté par la formule

$\left(\mathrm {K} p^{-m}+\mathrm {L} q^{-m}+\mathrm {M} r^{-m}+\mathrm {N} s^{-m}+\ldots \right)x^{m}\,;$

d’où il est facile de conclure que cette série résultera du développement des $n$ fractions

${\frac {\mathrm {K} }{1-{\cfrac {x}{p}}}}+{\frac {\mathrm {L} }{1-{\cfrac {x}{q}}}}+{\frac {\mathrm {M} }{1-{\cfrac {x}{r}}}}+\ldots ,$

lesquelles étant réduites à une fraction unique, on aura la fraction génératrice cherchée.

Considérons donc l’équation identique

${\frac {[0]+[1]x+[2]x^{2}+\ldots +[n-1]x^{n-1}}{(0)+(1)x+(2)x^{2}+\ldots +(n)x^{n}}}={\frac {\mathrm {K} }{1-px}}+{\frac {\mathrm {L} }{1-qx}}+{\frac {\mathrm {M} }{1-rx}}+\ldots ,$

et voyons quelle transformation on doit faire subir au premier membre, pour que le second se change en celui-ci

${\frac {\mathrm {K} }{1-{\cfrac {x}{p}}}}+{\frac {\mathrm {L} }{1-{\cfrac {x}{q}}}}+{\frac {\mathrm {M} }{1-{\cfrac {x}{r}}}}+\ldots .$

Je remarque d’abord qu’en faisant $x=0$ on a

${\frac {[0]}{(0)}}=\mathrm {K+L+M} +\ldots \,;$