ensuite, si l’on met 
à la place de 
et qu’on fasse les réductions ordinaires, on aura
![{\displaystyle {\frac {[0]x^{n}+[1]x^{n-1}+[2]x^{n-2}+\ldots +[n-1]x}{(0)x^{n}+(1)x^{n-1}+(2)x^{n-2}+\ldots +(n)}}=-{\frac {\mathrm {K} x}{p-x}}-{\frac {\mathrm {L} x}{q-x}}-{\frac {\mathrm {M} x}{r-x}}-\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c2ab906caf92a5366124858d653560d3c43a94a)
retranchons cette équation de la précédente, et l’on aura celle-ci
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {[0]}{(0)}}-{\frac {[0]x^{n}+[1]x^{n-1}+[2]x^{n-2}+\ldots +[n-1]x}{(0)x^{n}+(1)x^{n-1}+(2)x^{n-2}+\ldots +(n)}}=&{\frac {\mathrm {K} p}{p-x}}+{\frac {\mathrm {L} q}{q-x}}+{\frac {\mathrm {M} r}{r-x}}+\ldots \\=&{\frac {\mathrm {K} }{1-{\cfrac {x}{p}}}}+{\frac {\mathrm {L} }{1-{\cfrac {x}{q}}}}+{\frac {\mathrm {M} }{1-{\cfrac {x}{r}}}}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d32e1f3eb240891fbc6135e7a86f384bff60f29)
On aura donc
![{\displaystyle {\frac {[0]}{(0)}}-{\frac {[0]x^{n}+[1]x^{n-1}+[2]x^{n-2}+\ldots +[n-1]x}{(0)x^{n}+(1)x^{n-1}+(2)x^{n-2}+\ldots +(n)}}=\mathrm {T} +\,^{\text{‵}}\mathrm {T} x+\,^{\text{‵‵}}\mathrm {T} x^{2}+\,^{\text{‵‵‵}}\mathrm {T} x^{3}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9d61a9a1cc2a638e69f81e21230de0cec8f1a5d)
or, faisant 
on a ![{\displaystyle {\frac {[0]}{(0)}}=\mathrm {T} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d62f91ee4e2ee9ee86190c8cb306bbd8c66bb30b)
donc, retranchant cette équation de la précédente et divisant le reste par on aura, en ordonnant les termes suivant les puissances croissantes de
![{\displaystyle -{\frac {[n-1]+[n-2]x+[n-3]x^{2}+\ldots +[0]x^{n-1}}{(n)+(n-1)x+(n-2)x^{2}+(n-3)x^{3}+\ldots +(0)x^{n}}}=\,^{\text{‵}}\mathrm {T} +\,^{\text{‵‵}}\mathrm {T} x+\,^{\text{‵‵‵}}\mathrm {T} x^{2}+\,^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\mathrm {T} x^{3}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81971c138a7baa8cc32741d726d59e70fd029ea)
Ainsi le Problème est résolu.
Remarque I.
22. Quoique l’analyse précédente soit fondée sur la décomposition de la fraction génératrice donnée dans les fractions simples
décomposition qui suppose que les facteurs binômes 
soient tous inégaux, cependant il est facile de se convaincre que notre démonstration n’en subsistera pas moins quand il se trouvera des facteurs doubles, ou triples, car on sait que le cas des facteurs égaux
