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Corollaire I.

24. Soit $\mathrm {\frac {M}{P}}$ la fraction génératrice de la série récurrente de l’ordre $n$

(A)

$\mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots ,$

$\mathrm {P}$ étant un polynôme du degré $n,$ et $\mathrm {M}$ un polynôme du degré $n-1.$

Que $\mathrm {Q}$ soit le polynôme contraire à $\mathrm {P} ,$ et $\mathrm {N}$ le polynôme contraire à $\mathrm {M} ,$ on aura -\mathrm\frac{N}{Q} pour la fraction génératrice de la série

(B)

$^{\text{‵}}\mathrm {T} +\,^{\text{‵‵}}\mathrm {T} x+\,^{\text{‵‵‵}}\mathrm {T} x^{2}+\,^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\mathrm {T} x^{3}+\,^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\mathrm {T} x^{4}+\ldots .$

Donc, si l’on ajoute ensemble les deux séries (A) et (B), ou qu’on les retranche l’une de l’autre, on aura la nouvelle série

(C)

$\mathrm {\left(T\pm \,^{\text{‵}}T\right)} +\mathrm {\left(T'\pm \,^{\text{‵‵}}T\right)} x+\mathrm {\left(T''\pm \,^{\text{‵‵‵}}T\right)} x^{2}+\mathrm {\left(T'''\pm ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}T\right)} x^{3}+\ldots ,$

dont la fraction génératrice sera égale à

$\mathrm {{\frac {M}{P}}\mp {\frac {N}{Q}}} .$

Supposons que le polynôme $\mathrm {P}$ soit le produit d’un polynôme réciproque $\Pi$ d’un degré quelconque pair $2\nu$ par un autre polynôme $\mathrm {P} ',$ qui sera par conséquent du degré $n-2\nu ,$ en sorte que l’on ait

$\mathrm {P} =\Pi \mathrm {P} '.$

Soit $\mathrm {Q} '$ le polynôme contraire à $\mathrm {P} '\,;$ comme $\Pi$ est un polynôme réciproque, il est clair qu’on aura

$\mathrm {Q} =\Pi \mathrm {Q} '.$

Ainsi l’on aura

$\mathrm {{\frac {M}{\Pi P'}}\mp {\frac {N}{\Pi Q'}}} ,$