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3^o La somme ou la différence de deux polynômes réciproques du même degré est aussi un polynôme réciproque d’un pareil degré.

Et le produit de deux polynômes réciproques de quelque degré que ce soit est toujours un polynôme réciproque d’un degré égal à la somme des degrés de ces polynômes. De même le quotient de deux polynômes réciproques, lorsque l’un est divisible par l’autre, sera un polynôme réciproque d’un degré égal à la différence de ceux des deux polynômes.

4^o Tout polynôme réciproque d’un degré impair est divisible par $1+x,$ et le quotient sera aussi un polynôme réciproque ; car il est visible qu’en faisant $x=-1$ les deux termes extrêmes du polynôme se détruiront l’un l’autre, ainsi que les autres termes équidistants des extrêmes ; et, comme $1+x$ est lui-même un polynôme réciproque, il s’ensuit que le quotient le sera aussi.

5^o La différence de deux polynômes contraires est divisible par $1-x,$ et le quotient est un polynôme réciproque ; car soient $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ deux polynômes contraires de quelque degré que ce soit, il est clair qu’en faisant $x=1$ on aura $\mathrm {P=Q}$ ou $\mathrm {P-Q} =0\,;$ donc $\mathrm {P-Q}$ sera divisible par $1-x.$ Maintenant, si l’on multiplie la différence $\mathrm {P-Q}$ par $1-x,$ on aura

$\mathrm {P-Q-P} x+\mathrm {Q} x,$

qui sera, par conséquent, divisible par $(1-x)^{2}$ or $\mathrm {P+Q} x$ est un polynôme réciproque, et $\mathrm {Q+P} x$ en est un aussi du même degré (1^o) ; donc la différence $\mathrm {P+Q} x-\mathrm {Q-P} x$ sera un polynôme réciproque (3^o) ; d’un autre côté,

$(1-x)^{2}=1-2x+x^{2}$

est aussi un polynôme réciproque ; donc le quotient de ces deux polynômes, c’est-à-dire, le quotient de $\mathrm {P-Q}$ par $1-x,$ sera encore un polynôme réciproque (3^o).

On peut démontrer de la même manière que $\mathrm {P-Q} x^{m}$ sera divisible par $1-x,$ et que le quotient sera un polynôme réciproque.

Ces propriétés des polynômes contraires et des polynômes réciproques vont nous servir pour tirer différentes conséquences de la solution du Problème précédent.