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dans laquelle

${\begin{aligned}t\ \ \ &=\mathrm {T\ \ \ +\,^{\text{‵}}T} ,\\t'\ \ &=\mathrm {T'\ \ +\ \ T\ \,+\,^{\text{‵}}T\ +\,^{\text{‵‵}}T} ,\\t''\ &=\mathrm {T''\ +\ \ T'\,+\ \ T\ +\ \,^{\text{‵}}T+\,^{\text{‵‵}}T+\,^{\text{‵‵‵}}T} ,\\t'''&=\mathrm {T'''+\ \ T''+\ \ T'+\ \ \,T+\ \,^{\text{‵}}T+\ \,^{\text{‵‵}}T+\,^{\text{‵‵‵}}T+\,^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}T} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et dont l’autre sera

(F)

$(t)+(t')x+(t'')x^{2}+(t''')x^{3}+\left(t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)x^{4}+\left(t^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)x^{5}+\ldots ,$

dans laquelle

${\begin{aligned}(t)\ \ \ &=\mathrm {T\ \ \ -\,^{\text{‵}}T} ,\\(t')\ \ &=\mathrm {T'\ \ -\ \ T\ \,+\,^{\text{‵}}T\ -\,^{\text{‵‵}}T} ,\\(t'')\ &=\mathrm {T''\ -\ \ T'\,+\ \ T\ -\ \,^{\text{‵}}T+\,^{\text{‵‵}}T-\,^{\text{‵‵‵}}T} ,\\(t''')&=\mathrm {T'''-\ \ T''+\ \ T'-\ \ \,T+\ \,^{\text{‵}}T-\ \,^{\text{‵‵}}T+\,^{\text{‵‵‵}}T-\,^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}T} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Et ces deux séries auront l’avantage de tirer leur origine de fractions génératrices qui auront pour dénominateur un même polynôme réciproque du degré pair $2(n-\nu -1)$ et pour numérateur des polynômes aussi réciproques et du degré $2(n-\nu -1).$

De même le Corollaire II fournira deux autres séries qui auront les mêmes propriétés, et dont l’une sera la série (D), prise avec les signes supérieurs et divisée par $1-x^{2},$ ou, ce qui revient au même, multipliée par la série

$1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+\ldots ,$

et dont l’autre sera la même série (D), prise avec les signes supérieurs et divisée par $x,$ après en avoir retranché le premier terme $\mathrm {T} .$

Ainsi la première de ces séries sera de la forme

(G)

$t+t'x+t''x^{2}+t'''x^{3}+t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+t^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}x^{5}+\ldots ,$