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où

${\begin{aligned}t\ \ \ &=\mathrm {T} ,\\t'\ \ &=\mathrm {T'\,\ +\,^{\text{‵}}T} ,\\t''\ &=\mathrm {T''\ +\ \ T\ +\,^{\text{‵‵}}T} ,\\t'''&=\mathrm {T'''+\ \ T'+\ \,^{\text{‵}}T+\,^{\text{‵‵‵}}T} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et la seconde sera de la forme

(H)

$(t)+(t')x+(t'')x^{2}+(t''')x^{3}+\left(t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\right)x^{4}+\left(t^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\right)x^{5}+\ldots ,$

où

${\begin{aligned}(t)\ \ \ &=\mathrm {T'\ -\ \ ^{\text{‵}}T} ,\\(t)'\ \ &=\mathrm {T''\,-\ ^{\text{‵‵}}T} ,\\(t)''\ &=\mathrm {T'''-\,^{\text{‵‵‵}}T} ,\\(t)'''&=\mathrm {T^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-\,^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}T} ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On a donc par là le moyen de transformer une série récurrente d’un ordre quelconque $n$ en d’autres de l’ordre $2(n-\nu )$ qui aient les conditions dont on vient de parler. Or, quoique ces transformées soient en elles-mêmes d’un ordre supérieur à la proposée, elles peuvent néanmoins être abaissées à un ordre inférieur ; car nous allons faire voir, dans le Problème suivant, que toute série récurrente dont la fraction génératrice a pour numérateur et pour dénominateur des polynômes réciproques de degrés pairs peut être transformée en une autre aussi récurrente, mais d’un ordre moindre de la moitié ; d’où l’on pourra conclure que les séries transformées de l’ordre $2(n-\nu )$ seront réductibles à d’autres de l’ordre $n-\nu ,$ lequel, tant que $\nu$ n’est pas nul, sera toujours moindre que celui de la série primitive proposée.