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et cette fraction sera, par conséquent, égale à la série

$\theta +{\frac {\theta 'x}{1+x^{2}}}+{\frac {\theta ''x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}+{\frac {\theta '''x^{3}}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}}+\ldots \,;$

et, divisant tant la fraction que la série par $1+x^{2},$ j’aurai cette fraction

${\frac {a\left(1+x^{2}\right)^{\mu -1}+bx\left(1+x^{2}\right)^{\mu -2}+cx^{2}\left(1+x^{2}\right)^{\mu -3}+\ldots +hx^{\mu -1}}{\mathrm {A} \left(1+x^{2}\right)^{\mu }+\mathrm {B} x\left(1+x^{2}\right)^{\mu -1}+\mathrm {C} x^{2}\left(1+x^{2}\right)^{\mu -2}+\ldots +\mathrm {K} x^{\mu }}},$

qui sera égale à la série

${\frac {\theta }{1+x^{2}}}+{\frac {\theta 'x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}+{\frac {\theta ''x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}}+{\frac {\theta '''x^{3}}{\left(1+x^{2}\right)^{4}}}+\ldots .$

Maintenant, si l’on développe les puissances de $1+x^{2},$ tant dans le numérateur que dans le dénominateur de cette dernière fraction, et qu’on ordonne ensuite par rapport aux puissances de $x,$ on verra que le dénominateur sera un polynôme réciproque du degré $2\mu ,$ et que le numérateur sera aussi un polynôme réciproque du degré $2\mu -2\,;$ en sorte qu’on pourra comparer terme à terme ces polynômes à ceux qui forment la fraction génératrice de la série proposée ; et cette comparaison servira à déterminer les $\mu$ coefficients

$a,\ \ b,\ \ c,\ldots ,\ \ h$

par les coefficients

$[0],\ \ [1],\ \ [2],\ldots ,\ \ [\mu -1],$

ainsi que les $\mu +1$ coefficients

$\mathrm {A,\ \ B,\ \ C,\ldots ,\ \ K}$

par les coefficients

$(0),\ \ (1),\ \ (2),\ldots ,\ \ (\mu ).$

Les deux fractions étant donc, par ce moyen, devenues identiques, il faudra que les séries qui en dérivent le soient aussi ; mais, comme la dernière série n’est pas ordonnée suivant les puissances de $x,$ il faudra, pour pouvoir la comparer à la proposée, l’ordonner auparavant suivant