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ces mêmes puissances ; et pour cela il n’y aura qu’à y substituer, à la place des fractions

${\frac {1}{1+x^{2}}},\quad {\frac {1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}},\quad {\frac {1}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}},\ldots ,$

leurs valeurs en séries

${\begin{alignedat}{5}{\frac {1}{1+x^{2}}}\quad =&1-&x^{2}&+&x^{4}&-&x^{6}&+&x^{8}&-&\ldots ,\\{\frac {1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}}=&1-&2x^{2}&+&4x^{4}&-&4x^{6}&+&5x^{8}&-&\ldots ,\\{\frac {1}{\left(1+x^{2}\right)^{3}}}=&1-&3x^{2}&+&6x^{4}&-&10x^{6}&+&15x^{8}&-&\ldots ,\\\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;$

et, après avoir ordonné les termes par rapport à $x,$ on aura la série

${\begin{aligned}\theta +\theta 'x&+(\theta ''-\theta )x^{2}+(\theta '''-2\theta ')x^{3}+(\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-3\theta ''+\theta )x^{4}\\&+(\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}-4\theta '''+3\theta ')x^{5}+(\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{VI}}}-5\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+6\theta ''-\theta )x^{6}+\ldots ,\end{aligned}}$

dans laquelle chaque terme, comme $x^{\lambda },$ aura pour coefficient la quantité

$\theta ^{\lambda }-(\lambda -1)\theta ^{\lambda -2}+{\frac {(\lambda -2)(\lambda -3)}{2}}\theta ^{\lambda -4}-{\frac {(\lambda -3)(\lambda -4)(\lambda -5)}{2.3}}\theta ^{\lambda -6}+\ldots .$

Comparant donc maintenant terme à terme cette série avec la série proposée, on aura

${\begin{aligned}t\ \ \ &=\theta ,\\t'\ \ &=\theta ',\\t''\ &=\theta ''\ -\theta ,\\t'''&=\theta '''-2\theta ',\\t^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&=\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-3\theta ''\ +\theta ,\\t^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\,&=\theta ^{\scriptscriptstyle {\text{V}}}\ -4\theta '''+3\theta ',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et, en général,

$t^{(\lambda )}=$

$\theta ^{(\lambda )}-(\lambda -1)\theta ^{(\lambda -2)}+{\frac {(\lambda -2)(\lambda -3)}{2}}\theta ^{(\lambda -4)}-{\frac {(\lambda -3)(\lambda -4)(\lambda -5)}{2.3}}\theta ^{(\lambda -6)}+\ldots ,$