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Corollaire.

31. Lorsqu’on aura ainsi trouvé les quotients successifs

$p+qx+px^{2},\quad p'+q'x+p'x^{2},\quad p''+q''x+p''x^{2},\ldots ,$

on pourra en déduire la fraction génératrice de la série par la méthode du n^o 2, en prenant ces quotients à la place des quotients

$p+qx,\quad p'+q'x,\quad p''+q''x,\ldots .$

Mais il sera encore plus simple et plus commode de prendre pour quotients les simples quantités

$p+qy,\quad p'+q'y,\quad p''+q''y,\ldots ,\quad p^{(\mu -1)}+q^{(\mu -1)}y\,;$

car, ayant formé par leur moyen la fraction en $y,$ il n’y aura plus qu’à y substituer ${\frac {x}{1+x^{2}}}$ à la place de $y,$ et à la diviser ensuite par $1+x^{2},$ comme on l’a vu dans le n^o 28.

Remarque I.

32. La méthode précédente est donc très-utile pour reconnaître si une série quelconque proposée est récurrente et due à une fraction génératrice dont le numérateur et le dénominateur soient des polynômes réciproques de degrés, pairs ; car elle réduit à la moitié le nombre des opérations que demanderait la méthode générale de la Proposition II.

Si la fraction génératrice de la série devait avoir pour dénominateur un polynôme réciproque de degré pair, et pour numérateur le produit d’un polynôme réciproque de degré pair par un polynôme quelconque donné ; alors on pourrait encore résoudre la question par la même méthode, avec cette seule différence, qu’au lieu de prendre l’unité pour le premier dividende, comme dans les opérations de la Proposition II, il faudrait prendre pour premier dividende le polynôme même donné ; car il est visible que, de cette manière toute la fraction continue se trou-