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le terme général de la série provenant de la fraction

${\frac {\mathrm {F+G} x}{1-2x\cos \alpha +x^{2}}}$

se réduira à la forme

$\mathrm {A} \sin(a+m\alpha )x^{m}.$

Ainsi l’on connaîtra les valeurs des constantes $\mathrm {A}$ et $a,$ et l’on déterminera de même celles des constantes $\mathrm {B}$ et $b,$ à l’aide des quantités $\mathrm {H,I} ,$ et $\sin \beta ,\cos \beta \,;$ et ainsi des autres.

Deuxième Solution.

36. Puisque la question est de savoir si la suite proposée résulte d’une fraction génératrice, dont le dénominateur soit un polynôme réciproque d’un degré pair $2\nu ,$ supposons que cela soit ainsi, et il est clair qu’on aura dans ce cas (n^o 24)

$\mathrm {P} =\Pi ,\quad n=2\nu ,$

par conséquent

$\mathrm {P'=1,\quad Q'=1,\quad P=Q} .$

D’où il s’ensuit que chacune des séries transformées du n^o 26 sera de l’ordre $2(2\nu -\nu )=2\nu ,$ c’est-à-dire, du même ordre que la proposée ; en sorte que, par la méthode de la Proposition IV, on pourra les transformer de nouveau en d’autres qui ne seront que de l’ordre $\nu ,$ et par conséquent d’un ordre moindre de la moitié de celui de la série proposée moyennant quoi la recher-che de la fraction génératrice deviendra beaucoup plus simple et plus facile.

Soit donc $\mathrm {T}$ un des termes du milieu de la suite proposée, et soient

$\mathrm {T',\ \ T'',\ \ T'''} ,\ldots$

les termes qui suivent celui-là,

$\,^{\text{‵}}\mathrm {T} ,\ \ \,^{\text{‵‵}}\mathrm {T} ,\ \ \,^{\text{‵‵‵}}\mathrm {T} ,\ldots$

ceux qui le précèdent. On formera, par les formules du n^o 26, les deux