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En effet il est clair, par les formules du n^o 6, que le dénominateur de la fraction génératrice aura alors pour facteur les trinômes

$1-2x\cos \alpha +x^{2},\quad 1-2x\cos \beta +x^{2},\ldots ,$

en sorte qu’on pourra, par les méthodes connues décomposer cette fraction en autant de fractions partielles, telles que

${\frac {\mathrm {F+G} x}{1-2x\cos \alpha +x^{2}}}+{\frac {\mathrm {H+I} x}{1-2x\cos \beta +x^{2}}}+\ldots .$

Or on sait, et il est d’ailleurs très-facile de démontrer que toute fraction de la forme

${\frac {1}{1-2x\cos \alpha +x^{2}}}$

donne une série dont le terme général est

${\frac {\sin(m+1)\alpha }{\sin \alpha }}x^{m}\,;$

donc la fraction

${\frac {\mathrm {F+G} x}{1-2x\cos \alpha +x^{2}}}$

produira une série qui aura pour terme général la quantité

${\frac {\mathrm {F} \sin(m+1)\alpha +\mathrm {G} \sin m\alpha }{\sin \alpha }}x^{m}\,;$

mais

$\sin(m+1)\alpha =\sin m\alpha \cos \alpha +\cos m\alpha \sin \alpha \,;$

donc, si l’on fait

$\mathrm {F=A\sin a,\quad {\frac {F\cos \alpha +G}{\sin \alpha }}=A} \cos a,$

et par conséquent

$\operatorname {tang} a=\mathrm {{\frac {F\sin \alpha }{F\cos \alpha +G}},\quad A={\frac {\sqrt {F^{2}+2FG\cos \alpha +G^{2}}}{\sin \alpha }}} ,$