d’où l’on tirera aisément l’expression du terme général
comme dans la solution précédente.
Dans le second cas, la série
![{\displaystyle t+t'x+t''x^{2}+t'''x^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf690c188854a45dc96467bd6da08d4dd83bba82)
étant multipliée par
et ensuite ajoutée à la série
![{\displaystyle (t)+(t')x+(t'')x^{2}+(t''')x^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c7454dd3d282643e8fd2dc85f03a19966e6b930)
multipliée par
donnera celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {T} +2\mathrm {T} 'x+2\mathrm {T} ''x^{2}+2\mathrm {T} '''x^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e7e52caf4225e05480d6672e0b37699b3b65e81)
en sorte que l’on aura
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {T} }{2}}+\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1faf1ee26f7b96a42566396d395272a35364bbf)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {F} +(\mathrm {F} )x-\mathrm {F} x^{2}}{1-2x\cos \alpha +x^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {G} +(\mathrm {G} )x-\mathrm {G} x^{2}}{1-2x\cos \beta +x^{2}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/794f5a2974b7fd03591ba5f121950bfcaa87069e)
Or, si l’on fait dans cette équation
on a
![{\displaystyle \mathrm {{\frac {T}{2}}={\frac {F}{2}}+{\frac {G}{2}}} +\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5049b827967698b0260406b9286215666408fae2)
Donc, ajoutant cette équation à celle-là, il viendra
![{\displaystyle \mathrm {T} +\mathrm {T} 'x+\mathrm {T} ''x^{2}+\mathrm {T} '''x^{3}+\mathrm {T} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{4}+\ldots =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81b012d4e33b25619d5cfbbb377c881940db021e)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {F} +\mathrm {\left[{\frac {1}{2}}(F)-F\cos \alpha \right]} x}{1-2x\cos \alpha +x^{2}}}+{\frac {\mathrm {G} +\mathrm {\left[{\frac {1}{2}}(G)-G\cos \beta \right]} x}{1-2x\cos \beta +x^{2}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50b7778bc8df736db7c96cb05fe12a6f8f39c563)
d’où il est facile de trouver, pour le terme général
l’expression
![{\displaystyle \mathrm {F} \cos m\alpha +{\frac {(\mathrm {F} )}{2\sin \alpha }}\sin m\alpha +\mathrm {G} \cos m\beta +{\frac {(\mathrm {G} )}{2\sin \beta }}\sin m\beta +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84b08d19fd32df5c0a5206ed4a08291faee290f8)
qu’on réduira aisément à la forme
![{\displaystyle \mathrm {A} \sin(a+m\alpha )+\mathrm {B} \sin(b+m\beta )+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f3e8d720c36102a973ff0d91abb1561d21856c4)
en faisant
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}\operatorname {tang} a=\mathrm {\cfrac {2F\sin \alpha }{(F)}} ,&\mathrm {A} =\mathrm {\sqrt {F^{2}+{\cfrac {(F)^{2}}{4\sin ^{2}\alpha }}}} ,\\\operatorname {tang} b=\mathrm {\cfrac {2G\sin \beta }{(G)}} ,&\mathrm {B} =\mathrm {\sqrt {G^{2}+{\cfrac {(G)^{2}}{4\sin ^{2}\beta }}}} ,\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0ca4ba2d77c8aeddda24127716665d9e6b30865)
![{\displaystyle \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/753560e6e1476b21481a123714ac6be11b995a47)