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Troisième Solution.

37. Ayant nommé, comme ci-dessus,

$\ldots ,\mathrm {\ \ \,^{\text{‵‵‵}}T,\ \ \,^{\text{‵‵}}T,\ \ \,^{\text{‵}}T,\ \ T,\ \ T',\ \ T'',\ \ T'''} ,\ldots$

les termes de la suite proposée, on en formera ces deux séries (24)

(C)

$\left\{{\begin{aligned}\mathrm {\left(T+\,^{\text{‵}}T\right)} &+\mathrm {\left(T'+\,^{\text{‵‵}}T\right)} x+\mathrm {\left(T''+\,^{\text{‵‵‵}}T\right)} x^{2}+\mathrm {\left(T'''+\,^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}T\right)} x^{3}+\ldots ,\\\mathrm {\left(T-\,^{\text{‵}}T\right)} &+\mathrm {\left(T'-\,^{\text{‵‵}}T\right)} x+\mathrm {\left(T''-\,^{\text{‵‵‵}}T\right)} x^{2}+\mathrm {\left(T'''-\,^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}T\right)} x^{3}+\ldots ,\end{aligned}}\right.$

ou bien ces deux-ci (n^o 25)

(D)

$\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {T} +\mathrm {\left(T'+\,^{\text{‵}}T\right)} x+\mathrm {\left(T''+\,^{\text{‵‵}}T\right)} x^{2}+\mathrm {\left(T'''+\,^{\text{‵‵‵}}T\right)} x^{3}+\ldots ,\\&\mathrm {\left(T'-\,^{\text{‵}}T\right)} +\mathrm {\left(T''-\,^{\text{‵‵}}T\right)} x+\mathrm {\left(T'''-\,^{\text{‵‵‵}}T\right)} x^{2}+\ldots \,;\end{aligned}}\right.$

ensuite on opérera sur une quelconque de ces quatre séries, suivant la méthode de la Proposition V, en ayant seulement attention (32) de prendre pour premier dividende, au lieu de l’unité, la quantité $1-x$ si l’on choisit la première des deux séries (C), la quantité $1+x$ si l’on choisit la seconde de ces séries, ou la quantité $1-x^{2}$ si l’on veut opérer sur la première des deux séries (D) ; mais, à l’égard de la seconde des séries (D), il ne faudra prendre que l’unité, comme à l’ordinaire.

On pourra donc trouver, par cette méthode, la fraction génératrice de la série, si elle en a une ; et pour cela il faudra se souvenir de multiplier ensuite le numérateur de la fraction qu’on aura trouvée directement, par la même quantité qui aura servi de premier dividende, pour avoir la véritable fraction génératrice cherchée (numéro cité).

Ayant trouvé ainsi la fraction génératrice de l’une des deux séries (C) ou (D), il faudra chercher encore celle de la série compagne, et pour cela on pourra, si l’on veut, s’y prendre de la même manière ; mais, comme on sait d’avance que ces fractions doivent avoir le même dénominateur, il suffira de chercher le numérateur de la nouvelle fraction, en multipliant la série correspondante par le dénominateur déjà trouvé, et ne prenant dans le produit qu’un nombre de termes moindre d’une