cherché directement la fraction génératrice sans supposer son dénominateur connu.
Dès qu’on aura trouvé la fraction génératrice de la série en question, il n’y aura plus qu’à la multiplier par la même puissance de par laquelle on avait divisé auparavant tous ses termes, et à y ajouter ensuite le polynôme réciproque ou anti-réciproque dont on vient de parler ; la fraction qui en résultera, après avoir réduit le tout au même dénominateur et multiplié de plus ce dénominateur par celui de la première fraction déjà trouvée, sera la fraction génératrice de la série compagne de la première.
Cette règle se démontre facilement par les principes du numéro cité ; nous ne nous y arrêterons pas, d’autant que dans la pratique il paraît beaucoup plus utile d’employer toujours la méthode directe pour l’une et l’autre série ; car, quoique de cette manière le calcul devienne un peu plus long, il y a néanmoins cet avantage que l’opération qu’on fera sur la seconde série servira de preuve à celle qu’on aura faite pour la première, puisqu’il faut nécessairement que le dénominateur de la fraction génératrice de celle-ci soit le même que celui de la fraction génératrice de celle-là, ou qu’il en soit du moins un diviseur exact.
40. Comme la troisième Solution mérite d’être employée de préférence, à cause de sa simplicité et de sa facilité, je vais, pour la commodité de ceux qui voudront en faire usage, récapituler en peu de mots les procédés qu’elle demande. Pour cela je distinguerai les deux cas qui répondent aux séries (C) ou (D), sur lesquelles on est libre d’opérer ce qui fournira deux méthodes différentes de résoudre le Problème.
Soit un des termes du milieu de la série proposée ;
