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on fera

${\begin{aligned}\psi \ \ \ &=1,\\\psi '\ \ &=1+q^{(n-1)}y,\\\psi ''\ &=\left(1+q^{(n-2)}y\right)\psi '+p^{(n-1)}y^{2}\psi ,\\&=1+\left(q^{(n-1)}+q^{(n-2)}\right)y+\left(q^{(n-1)}q^{(n-2)}+p^{(n-1)}\right)y^{2},\\\psi '''&=\left(1+q^{(n-3)}y\right)\psi ''+p^{(n-2)}y^{2}\psi ',\\&=1+\left(q^{(n-1)}+q^{(n-2)}+q^{(n-3)}\right)y\\&\qquad +\left(q^{(n-1)}q^{(n-2)}+q^{(n-1)}q^{(n-3)}+q^{(n-2)}q^{(n-3)}\right)y^{2},\\&\qquad +\left(q^{(n-1)}q^{(n-2)}q^{(n-3)}+q^{(n-1)}q^{(n-2)}+q^{(n-3)}q^{(n-1)}\right)y^{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\psi ^{(n)}&=(1+qy)\psi ^{(n-1)}+p'y^{2}\psi ^{(n-2)}.\end{aligned}}$

Et l’on considérera la fraction ${\frac {p\psi ^{(n-1)}}{\psi ^{(n)}}},$ dont le dénominateur $\psi ^{(n)}$ sera toujours un polynôme en $y$ du degré $n,$ dans lequel le premier terme sera l’unité ; en sorte qu’il pourra être résolu en $n$ facteurs simples de la forme

$1-\varpi y,\quad 1-\rho y,\ldots .$

On cherchera donc ces facteurs par les méthodes connues, et ensuite on décomposera la fraction elle-même en autant de fractions simples, telles que

${\frac {\mathrm {F} }{1-\varpi y}}+{\frac {\mathrm {G} }{1-\rho y}}+\ldots .$

Ces opérations achevées, on reprendra la série proposée, et l’on en formera la série des différences

$\mathrm {\left(T-\,^{\text{‵}}T\right)} +\mathrm {\left(T'-\,^{\text{‵‵}}T\right)} x+\mathrm {\left(T''-\,^{\text{‵‵‵}}T\right)} x^{2}+\mathrm {\left(T'''-\,^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}T\right)} x^{3}+\ldots ,$

qu’on traitera de la même manière qu’on l’a fait à l’égard de la série précédente des sommes, avec cette seule différence que, au lieu de prendre $1-x$ pour premier dividende, il faudra prendre maintenant $1+x.$

En suivant donc les mêmes procédés, on parviendra aussi à une fraction telle que ${\frac {p(\psi )^{(n-1)}}{(\psi )^{(n)}}},$ dont le dénominateur $(\psi )^{(n)}$ devra être exacte-