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ment ou à très-peu près le même que celui de la fraction trouvée d’après la première série ; ce qui pourra servir de confirmation à la bonté du calcul. Ainsi on pourra décomposer pareillement cette dernière fraction en $n$ fractions partielles de la forme

${\frac {(\mathrm {F} )}{1-\varpi y}}+{\frac {(\mathrm {G} )}{1-\rho y}}+\ldots .$

Ayant trouvé de cette manière les valeurs des quantités

$\varpi ,\ \ \rho ,\ldots ,\ \ \mathrm {F,\ \ G,\ldots ,\ \ (F),\ \ (G)} ,\ldots ,$

il n’y aura plus qu’à faire

${\begin{aligned}&\cos \alpha ={\cfrac {\varpi }{2}},\\&\operatorname {tang} a=\mathrm {\cfrac {F+(F)}{(F)\cot {\cfrac {\alpha }{2}}-F\operatorname {tang} {\cfrac {\alpha }{2}}}} ,\quad \mathrm {A} ={\cfrac {1}{2}}\mathrm {\sqrt {F^{2}\operatorname {\text{séc}} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+(F)^{2}\operatorname {\text{coséc}} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}} ,\\&\cos \beta ={\cfrac {\rho }{2}},\\&\operatorname {tang} b=\mathrm {\cfrac {G+(G)}{(G)\cot {\cfrac {\beta }{2}}-G\operatorname {tang} {\cfrac {\beta }{2}}}} ,\quad \mathrm {B} ={\cfrac {1}{2}}\mathrm {\sqrt {G^{2}\operatorname {\text{séc}} ^{2}{\cfrac {\beta }{2}}+(G)^{2}\operatorname {\text{coséc}} ^{2}{\frac {\beta }{2}}}} ,\\\end{aligned}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,$

et l’on aura pour le terme général $\mathrm {T} ^{(m)}$ de la série proposée l’expression suivante

$\mathrm {T} ^{(m)}=\mathrm {A} \sin(a+m\alpha )+\mathrm {B} \sin(b+m\beta )+\ldots .$

Seconde Méthode.

On formera d’abord la série des sommes

$\mathrm {T} +\mathrm {\left(T'+\,^{\text{‵}}T\right)} x+\mathrm {\left(T''+\,^{\text{‵‵}}T\right)} x^{2}+\mathrm {\left(T'''+\,^{\text{‵‵‵}}T\right)} x^{3}+\ldots ,$

et l’on opérera sur cette série suivant les mêmes procédés prescrits ci-dessus, en ayant seulement attention de prendre $1-x^{2}$ pour premier dividende. On trouvera ainsi les fractions partielles

${\frac {\mathrm {F} }{1-\varpi y}}+{\frac {\mathrm {G} }{1-\rho y}}+\ldots .$

On formera ensuite cette autre série des différences

$\mathrm {\left(T'+\,^{\text{‵}}T\right)} +\mathrm {\left(T''+\,^{\text{‵‵}}T\right)} x+\mathrm {\left(T'''+\,^{\text{‵‵‵}}T\right)} x^{2}+\ldots ,$