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or on a, après les substitutions,

${\begin{alignedat}{2}a-7\alpha =&-428^{\circ }15'&=&-2.360^{\circ }+&291^{\circ }45',\\b-7\beta =&-840^{\circ }&=&-3.360^{\circ }+&240^{\circ },\\a+5\alpha =&\quad \ 409^{\circ }33'&=&\qquad 360^{\circ }+&\ \ 49^{\circ }33',\\b+5\beta =&\quad \ 840^{\circ }12'&=&\ \quad 2.360^{\circ }+&120^{\circ }12'.\end{alignedat}}$

D’où l’on voit : 1^o que ces valeurs diffèrent un peu de celles de $a',b',$ $a'',b''\,;$ 2^o que les valeurs de ces dernières quantités doivent être exprimées ainsi

${\begin{aligned}a'\ =&-2.360^{\circ }+290^{\circ }58',\\b'\ =&-3.360^{\circ }+240^{\circ },\\a''=&\qquad 360^{\circ }+\ \ 50^{\circ }43',\\b''=&\ \quad 2.360^{\circ }+120^{\circ }10'.\end{aligned}}$

De sorte qu’en faisant ces substitutions dans les formules ci-dessus on aura, à cause de $\mu =5,\lambda =-7,$ et par conséquent $\mu -\lambda =12,$

${\begin{aligned}\alpha =&{\frac {a''-a'}{12}}={\frac {\ \ 839^{\circ }45'}{12}}=\ \,69^{\circ }59',\\\beta =&{\frac {b''-b'\ }{12}}={\frac {1680^{\circ }10'}{12}}=140^{\circ }\ \ 1'.\end{aligned}}$

Cette valeur de $\beta$ est la même que celle qu’on a trouvée directement dans l’Exemple II ; mais la valeur de $\alpha$ diffère de $10$ minutes de celle de cet Exemple ; or on verra, dans la Remarque suivante, que les valeurs de $\alpha$ et $\beta ,$ qu’on vient de trouver, ne diffèrent que de $1$ minute de la vérité, ce qui prouve l’utilité de la méthode précédente.

Ayant ainsi déterminé assez exactement les valeurs de $\alpha$ et $\beta ,$ on pourra s’en servir pour approcher davantage des véritables valeurs de $a$ et $b\,;$ car, puisqu’on a

$a-7\alpha =a',\quad b-7\beta =b'\,;\quad a+5\alpha =a'',\quad b+5\beta =b'',$

on aura

$2(a-\alpha )=a'+a'',\quad 2(b-\beta )=b'+b'',\quad \,;$