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d’où

$a=\alpha +{\frac {a'+a''}{2}},\quad b=\beta +{\frac {b'+b''}{2}},$

c’est-à-dire,

${\begin{aligned}a=&\ \ 69^{\circ }59'-{\frac {18^{\circ }19'}{2}}=60^{\circ }50',\\b=&140^{\circ }\ \ 1'-\ \ \ {\frac {10'}{2}}\ \ \ =139^{\circ }56',\end{aligned}}$

et ces valeurs sont aussi plus conformes à la vérité que celles qu’on a trouvées dans l’Exemple II, comme on le verra ci-après.

Remarque II.

44. Pour pouvoir maintenant juger de l’exactitude des résultats précédents, il faut réduire en formule la Table de l’équation du temps d’où la série proposée est tirée.

Pour cela je remarque que l’équation du temps n’est autre chose que la différence entre la longitude moyenne du Soleil et son ascension droite, convertie en temps à raison de $15$ degrés par heure. Or soient $\varphi$ la longitude vraie du Soleil, $t$ la longitude moyenne, $x$ l’ascension droite vraie, $\alpha$ le lieu de l’apogée, $e$ l’excentricité du Soleil et $\omega$ l’angle de l’obliquité de l’écliptique ; on aura d’abord, comme l’on sait,

$t=\int {\frac {\left(1+e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}d\varphi }{\left[1-e\cos(\varphi -\alpha )\right]^{2}}},$

et ensuite

$\operatorname {tang} x=\cos \omega \operatorname {tang} \varphi \,;$

ainsi il n’y aura qu’à déduire de ces formules les valeurs de $t$ et $x$ en $\varphi ,$ et la différence $x-t$ (laquelle ne contiendra plus que des cosinus d’angles multiples de $\varphi ,$), étant multipliée par l’arc égal au rayon, lequel est $57^{\circ }17'44'',$ et divisée ensuite par $15$ degrés, donnera la valeur de l’équation du temps en heures, pour la longitude du Soleil ; par conséquent, si l’on multiplie la valeur de $x-t$ par ${\frac {206264}{15}},$ dont le logarithme est