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moyenne $t,$ si l’on met dans la série précédente e à la place de $n,$ et $\varphi -\alpha$ à la place de $y,$ et qu’ensuite on y ajoute la constante $\alpha ,$ qui est la longitude de l’apogée ; on aura donc, en faisant

$\mathrm {K} ={\frac {1-{\sqrt {1-e^{2}}}}{e}}={\frac {e}{1+{\sqrt {1-e^{2}}}}},$

et observant que

$\mathrm {K} ^{2}={\frac {2\mathrm {K} }{e}}-1,$

on aura, dis-je, cette formule

$t=\varphi +2e\sin(\varphi -\alpha )+2\left(e-{\frac {\mathrm {K} }{2}}\right)\mathrm {K} \sin 2(\varphi -\alpha )+2\left(e-{\frac {2\mathrm {K} }{3}}\right)\mathrm {K} ^{2}\sin 3(\varphi -\alpha )+\ldots .$

Il ne reste donc plus qu’à trouver la valeur de l’angle $x$ exprimée par une formule semblable ; or l’équation

$\operatorname {tang} x=\cos \omega \operatorname {tang} \varphi$

donne celle-ci

$dx={\frac {\cos \omega d\operatorname {tang} \varphi }{1+\cos ^{2}\omega \operatorname {tang} ^{2}\varphi }}={\frac {\cos \omega d\varphi }{\cos ^{2}\varphi +\cos ^{2}\omega \sin ^{2}\varphi }}={\frac {2\cos \omega d\varphi }{1+\cos ^{2}\omega +\sin ^{2}\omega \cos 2\varphi }}\,;$

de sorte qu’en faisant, pour abréger,

$\mathrm {A} ={\frac {\cos \omega }{1+\cos ^{2}\omega }},\quad \mathrm {B} ={\frac {\sin ^{2}\omega }{1+\cos ^{2}\omega }},$

on aura

$dx={\frac {2\mathrm {A} d\varphi }{1+\mathrm {B} \cos 2\varphi }}.$

Cette formule se rapporte évidemment à celle que nous avons intégrée ci-dessus, et il est clair qu’en faisant

$\mathrm {B} =-n\quad {\text{et}}\quad y=2\varphi ,$

on aura sur-le-champ

$x={\frac {2\mathrm {A} }{\sqrt {1-n^{2}}}}\mathrm {\left(\varphi +K\sin 2\varphi +{\frac {K^{2}}{2}}\sin 4\varphi +{\frac {K^{3}}{3}}\sin 6\varphi +\ldots \right)} \,;$