on aura l’équation du temps en secondes de temps, comme nous l’avons employée dans les Exemples ci-dessus.
Je commence par chercher la valeur de
et, pour y parvenir d’une manière générale, je remarque que l’on a
![{\displaystyle {\frac {dy}{1-n\cos y}}+d\left({\frac {n\sin y}{1-n\cos y}}\right)={\frac {\left(1-n^{2}\right)dy}{(1-n\cos y)^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428ab718492d643ee3653619ae5ae4af1520256d)
d’où il s’ensuit que
![{\displaystyle \int {\frac {\left(1-n^{2}\right)^{\frac {2}{3}}dy}{(1-n\cos y)^{2}}}=\int {\frac {{\sqrt {1-n^{2}}}dy}{1-n\cos y}}+{\frac {n{\sqrt {1-n^{2}}}\sin y}{1-n\cos y}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5087ee798327eaf44310d75a67a99e384fafe9f2)
Or on sait que la fraction
se réduit en une série de la forme
![{\displaystyle 1+2\mathrm {K} \cos y+2\mathrm {K} ^{2}\cos 2y+2\mathrm {K} ^{3}\cos 3y+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5343ae96d3432439ebd10808fd6e184a9a8fabe)
en faisant, pour abréger,
![{\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {1-{\sqrt {1-n^{2}}}}{n}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cce18d7068d27bf8cdba0e5e15a941d936401589)
ainsi l’on aura
1o En multipliant par
et intégrant,
![{\displaystyle \int {\frac {{\sqrt {1-n^{2}}}dy}{1-n\cos y}}=y+2\mathrm {K} \sin y+{\frac {2\mathrm {K} ^{2}}{2}}\sin 2y+{\frac {2\mathrm {K} ^{3}}{3}}\sin 3y+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb6450985f5fa58af54e01bd43961f6eb6ec4937)
2o En multipliant par
![{\displaystyle {\frac {n{\sqrt {1-n^{2}}}\sin y}{1-n\cos y}}=n\left(1-\mathrm {K} ^{2}\right)\left(\sin y+\mathrm {K} \sin 2y+\mathrm {K} ^{2}\sin 3y+\ldots \right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/482f052054ebfbd4a6bf3e442c7c61c2c933d1de)
donc, réunissant ces deux séries, on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}y+\left[2\mathrm {K} +n\left(1-\mathrm {K} ^{2}\right)\right]\sin y&+\left[{\frac {2\mathrm {K} }{2}}+n\left(1-\mathrm {K} ^{2}\right)\right]\mathrm {K} \sin 2y\\&+\left[{\frac {2\mathrm {K} }{3}}+n\left(1-\mathrm {K} ^{2}\right)\right]\mathrm {K} ^{2}\sin 3y+\ldots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3199259fd30751e7bc2685837789487b28a17b6)
pour la valeur de l’intégrale ![{\displaystyle \int {\frac {\left(1-n^{2}\right)^{\frac {3}{2}}dy}{(1-n\cos y)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd22ebd32942fd7183936a9b39b140f9634d4f35)
Maintenant il est visible que l’on aura la valeur de la longitude