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après la division on aura un polynôme réciproque du degré $\rho -2,$ que nous désignerons par $\mathrm {P} ,$ en sorte que

$\mathrm {P} (1-x)=\mathrm {R-(R)} x^{\rho }\,;$

on considérera maintenant la fraction ${\frac {\mathrm {P} }{\Pi }},$ dont le numérateur est un polynôme réciproque du degré $2\rho -2$ et dont le dénominateur en est un du degré $2\rho ,$ et, l’ayant multiplié par $1+x^{2},$ on le transformera, par la substitution de $y$ à la place de ${\frac {x}{1+x^{2}}},$ en une simple fraction en $y,$ ayant pour numérateur un polynôme $\mathrm {Q}$ du degré $\rho -1$ et pour dénominateur un polynôme $\Psi$ du degré $\rho$ (n^o 27). Pour faire cette transformation avec facilité, il n’y aura qu’à employer les substitutions enseignées dans le n^o 6, changer ensuite $z$ en ${\frac {1}{y}},$ et multiplier le bas et le haut par $y^{\rho }\,;$ ou bien, ce qui sera encore plus simple, on fera d’abord

$\Psi =(1-2y\cos \alpha )(1-2y\cos \beta )\ldots \,;$

ensuite on retranchera du polynôme $\mathrm {P}$ les $\rho -1$ premiers termes, et l’on mettra dans les $\rho$ derniers, à la place de $x^{\rho },x^{\rho +1},x^{\rho +2},\ldots ,x^{\rho +\mu },$ les quantités

$y^{\rho },\ \ y^{\rho -1}\left(1-2y^{2}\right),\ \ y^{\rho -2}\left(1-3y^{2}\right),\ldots ,$

$y^{\rho -\mu }\left[1-\mu y^{2}+{\frac {\mu (\mu -3)}{2}}y^{4}-{\frac {\mu (\mu -4)(\mu -5)}{2.3}}y^{6}+\ldots \right],$

et l’on aura le polynôme $\mathrm {Q} \,;$ en sorte que ${\frac {\mathrm {Q} }{\Psi }}$ sera la fraction en $y$ qu’on cherche.

Il ne restera plus maintenant qu’à ajouter cette fraction ${\frac {\mathrm {Q} }{\Psi }}$ à la fraction $\mathrm {\frac {V}{Y}}$ divisée par $\Psi ,$ et la somme, c’est-à-dire, la fraction $\mathrm {\frac {Q\Psi +V}{\Psi Y}}$ sera la véritable fraction en $y,$ qui répond à la série des sommes, et qu’on aurait dû trouver directement en faisant toutes les opérations requises. On traitera donc cette fraction de la manière prescrite à l’égard de la fraction ${\frac {p\psi ^{(n-1)}}{\psi ^{(n)}}},$ dans la première méthode du n^o 40.