Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 6.djvu/626

et dont les numérateurs sont aussi des polynômes réciproques d’un degré moindre de deux unités, mais, qui sont en même temps multipliés par $1-x,$ s’il s’agit de la série des sommes de la première méthode ; par $1+x,$ s’il s’agit de la série des différences de la même méthode ; et par $1-x^{2},$ s’il s’agit de la série des sommes de la seconde méthode. Donc, si l’on suppose qu’on connaisse déjà assez exactement la valeur de quelques-uns des angles $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots ,$ et que le nombre de ces angles connus soit $\rho ,$ il n’y aura qu’à former le produit des trinômes correspondants

$1-2x\cos \alpha +x^{2},\quad 1-2x\cos \beta +x^{2},\ldots ,$

que j’appellerai, pour plus de simplicité, $\Pi ,$ et l’on multipliera par ce polynôme connu $\Pi$ la série des sommes ou des différences qu’on se propose d’employer ; ce qui donnera, après avoir ordonné tous les termes par rapport aux puissances de $x,$ une nouvelle série, qu’on partagera en deux parties, l’une que je désigne par $\mathrm {R}$ et qui contiendra les $\rho$ premiers termes ; l’autre, que je désignerai par $x^{\rho }\mathrm {S}$ et qui contiendra les termes suivants, lesquels seront tous divisibles par $x^{\rho },$ en sorte que, après cette division, on aura la série $\mathrm {S} .$

On formera maintenant le polynôme contraire au polynôme $\mathrm {R}$ (n^o 23), et le dénotant par $(\mathrm {R} )$ on distinguera quatre cas, suivant la forme de la série que l’on aura employée.

1^o Si l’on fait usage-de la série des sommes de la première méthode, on ajoutera le polynôme $(\mathrm {R} )$ à la série $\mathrm {S} ,$ et la série résultante $\mathrm {S+(R)}$ sera de la même nature que là série primitive des sommes ; mais elle en sera plus simple, puisqu’elle sera débarrassée de la partie qui dépendrait des angles connus, $\alpha ,\beta ,\ldots .$ On traitera donc cette nouvelle série suivant les règles prescrites pour la série des sommes de la première méthode, et l’on en déduira la fraction en $y,$ ${\frac {p\psi ^{(n-1)}}{\psi ^{(n)}}},$ que nous désignerons ici par $\mathrm {\frac {V}{Y}} .$ Ayant trouvé cette fraction en $y,$ pour avoir celle de la série primitive, on prendra la différence $\mathrm {R-(R)} x^{\rho }$ des deux polynômes $\mathrm {R}$ et $(\mathrm {R} )x^{\rho },$ laquelle sera nécessairement divisible par $1-x$ (n^o 23, 5^o), et