stantes, pendant que les quantités
et
varient de
et
car, comme
![{\displaystyle {\frac {f^{2}}{\mathrm {M} r}}=1-e\sin \mathrm {I} \sin u-e\cos \mathrm {I} \cos u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ef82797541980a8f80116f04abb54839b9ed51)
il suffit de démontrer que la différentielle de cette équation est nulle, en ne faisant varier que les deux quantités
c’est-à-dire, que
![{\displaystyle \sin .d(e\sin \mathrm {I} )+\cos .d(e\cos \mathrm {I} )=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/930f50f6ae6239d6385132a2060af36fde329d20)
mais
![{\displaystyle d(e\sin \mathrm {I} )=-{\text{☊}}du\cos u,\quad {\text{et}}\quad d(e\cos \mathrm {I} )={\text{☊}}du\sin u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a55af41236f245f6ccc91fa57c5babae4eeb8bee)
donc, etc. Je fais donc
![{\displaystyle x=e\sin \mathrm {I} ,\quad y=e\cos \mathrm {I} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6695ed3cfe73ac65a6169cecbd15a3260b62e0d)
j’ai
![{\displaystyle {\frac {f^{2}}{\mathrm {M} r}}=1-x\sin u-y\cos u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ded95ecddcc8444a82086f47e523f4b10543e41)
et ensuite j’ai, en différentiant, les équations
![{\displaystyle dx=-{\text{☊}}\cos udu,\quad dy={\text{☊}}\sin udu\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d13a3149e64ec0c610c727afd117341cffec7862)
si l’on substitue, dans ces équations et dans les autres semblables, les valeurs de
et de
en
et
et que l’on ne conserve que les termes où
seront linéaires et multipliés par des coefficients constants, on aura les équations cherchées ; il faut seulement avoir soin de ne pas rejeter, dans la quantité
les termes de la forme
![{\displaystyle \int x\sin udu,\quad \int x\cos udu,\quad \int y\sin udu,\quad \int y\cos udu,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d5e0cdee24dc05745f6e809761072ac714de06)
et les autres semblables ; car ces termes, étant transformés en
produiront, dans les équations différentielles, des termes de la forme demandée ; à l’égard des quantités
on pourra les négliger entièrement, parce que
est déjà très-petit de l’ordre des masses des planètes perturbatrices.