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12. On substituera donc les quantités précédentes dans les deux équations du n^o 8 ; ensuite on mettra à la place de $x,y,z$ leurs valeurs

$r\cos q,\quad r\sin q,\quad r(u\sin q-s\cos q),$

et à la place de $x_{1},y_{1},z_{1}$ les valeurs analogues

$r_{1}\cos q_{1},\quad r_{1}\sin q_{1},\quad r_{1}(u_{1}\sin q_{1}-s_{1}\cos q_{1}),$

et ainsi des autres, en supposant généralement que les mêmes lettres, sans indice, ou avec l’indice $1,$ ou $2\ldots ,$ représentent les mêmes quantités relativement à l’orbite du corps $\mathrm {T} ,$ ou du corps $\mathrm {T} _{1},$ ou du corps $\mathrm {T} _{2},\ldots .$ On aura donc, en développant les produits des sinus et des cosinus,

${\begin{aligned}y_{1}z-yz_{1}=&\quad {\frac {rr_{1}}{2}}(u-u_{1})\left[\cos(q-q_{1})-\cos(q+q_{1})\right]\\&\qquad +{\frac {rr_{1}}{2}}(s+s_{1})\sin(q-q_{1})-{\frac {rr_{1}}{2}}(s-s_{1})\sin(q+q_{1}),\\x_{1}z-xz_{1}=&-{\frac {rr_{1}}{2}}(s-s_{1})\left[\cos(q-q_{1})-\cos(q+q_{1})\right]\\&\qquad +{\frac {rr_{1}}{2}}(u+u_{1})\sin(q-q_{1})+{\frac {rr_{1}}{2}}(u-u_{1})\sin(q+q_{1}).\end{aligned}}$

et ainsi des autres quantités semblables. Ensuite on aura (10)

${\begin{aligned}&(\mathrm {T\ S} )=r\ {\sqrt {1+(u\ \sin q\ -s\ \cos q\ )^{2}}},\\&(\mathrm {T_{1}S} )=r_{1}{\sqrt {1+(u_{1}\sin q_{1}-s_{1}\cos q_{1})^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&(\mathrm {TT_{1}} )={\sqrt {r^{2}-2rr_{1}\cos(q-q_{1})+r_{1}^{2}+\left(ru\sin q-rs\cos q-r_{1}u_{1}\sin q_{1}+r_{1}s_{1}\cos q_{1}\right)^{2}}},\\&(\mathrm {TT_{2}} )={\sqrt {r^{2}-2rr_{2}\cos(q-q_{2})+r_{2}^{2}+\left(ru\sin q-rs\cos q-r_{2}u_{2}\sin q_{2}+r_{2}s_{2}\cos q_{2}\right)^{2}}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

13. On remarquera maintenant que, comme les orbites des planètes sont fort peu inclinées à l’écliptique, les quantités $\theta ,\theta _{1},\ldots ,$ et par conséquent aussi les quantités $u,s,u_{1},s_{1},\ldots$ (8) seront nécessairement des quantités très-petites ; de sorte qu’on pourra, du moins dans le premier calcul, négliger les termes affectés de ces quantités dans les expressions des distances $\mathrm {(TS),(T_{1}S)} ,\ldots \,;$ l’erreur sera même d’autant moindre que les quantités à négliger sont très-petites du second ordre.