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Les équations du n^o 8 deviendront donc par toutes ces substitutions et réductions

${\begin{aligned}\mathrm {R} {\frac {ds}{dt}}+{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}s=&{\frac {\mathrm {T} _{1}rr_{1}}{2}}\left({\frac {1}{r_{1}^{3}}}-{\frac {1}{\left[r^{2}-2rr_{1}\cos(q-q_{1})+r_{1}^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}\right)\\&\times \left[(u-u_{1})\cos(q-q_{1})+(s+s_{1})\sin(q-q_{1})\right.\\&\left.\qquad -(u-u_{1})\cos(q+q_{1})-(s-s_{1})\sin(q+q_{1})\right]\\&+{\frac {\mathrm {T} _{2}rr_{2}}{2}}\left({\frac {1}{r_{2}^{3}}}-{\frac {1}{\left[r^{2}-2rr_{2}\cos(q-q_{2})+r_{2}^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}\right)\\&\times \left[(u-u_{2})\cos(q-q_{2})+(s+s_{2})\sin(q-q_{2})\right.\\&\qquad \left.-(u-u_{2})\cos(q+q_{2})-(s-s_{2})\sin(q+q_{2})\right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\\\mathrm {R} {\frac {du}{dt}}+{\frac {d\mathrm {R} }{dt}}u=&{\frac {\mathrm {T} _{1}rr_{1}}{2}}\left({\frac {1}{r_{1}^{3}}}-{\frac {1}{\left[r^{2}-2rr_{1}\cos(q-q_{1})+r_{1}^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}\right)\\&\times \left[-(s-s_{1})\cos(q-q_{1})+(u+u_{1})\sin(q-q_{1})\right.\\&\qquad \left.-(s-s_{1})\cos(q+q_{1})+(u-u_{1})\sin(q+q_{1})\right]\\&+{\frac {\mathrm {T} _{2}rr_{2}}{2}}\left({\frac {1}{r_{2}^{3}}}-{\frac {1}{\left[r^{2}-2rr_{2}\cos(q-q_{2})+r_{2}^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}\right)\\&\times \left[-(s-s_{2})\cos(q-q_{2})+(u+u_{2})\sin(q-q_{2})\right.\\&\qquad \left.-(s-s_{2})\cos(q+q_{2})+(u-u_{2})\sin(q+q_{2})\right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

14. De plus on pourra regarder, du moins dans la première approximation, les orbites comme circulaires, et par conséquent les rayons $r,r_{1},r_{2},\ldots$ comme constants, et les angles $q,q_{1},q_{2},\ldots$ comme proportionnels au temps, en sorte que l’on ait

$q=\mu t,\quad q_{1}=\mu _{1}t,\quad q_{2}=\mu _{2}t,\ldots .$

$\mu ,\mu _{1},\mu _{2},\ldots$ étant des constantes telles que $\mu t,\mu _{1}t,\mu _{2}t,\ldots$ soient les mouvements moyens des planètes $\mathrm {T,T_{1},T_{2}} ,\ldots$ qui répondent au temps $t.$

Donc, comme (8) $\mathrm {R} ={\frac {r^{2}dq}{dt}},$ on aura, dans cette hypothèse, $\mathrm {R} =\mu r^{2},$ et de même $\mathrm {R} _{1}=\mu _{1}r_{1}^{2},\mathrm {R} _{2}=\mu _{2}r_{2}^{2},\ldots \,;$ de sorte que ces quantités seront aussi constantes.

Enfin on sait que la quantité rompue et radicale

$\left[r^{2}-2rr_{1}\cos(q-q_{1})+r_{1}^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}$